Integrali di superficie e integrali per parti
Ciao a tutti,
leggendo una dimostrazione molto lunga di un teorema ho letto un'uguaglianza sulla quale ho qualche dubbio.
Consideriamo:
leggendo una dimostrazione molto lunga di un teorema ho letto un'uguaglianza sulla quale ho qualche dubbio.
Consideriamo:
[*:3qqeyhib] una funzione $u(x,t) : (RR^n xx (0,+infty)) -> RR$
[/*:m:3qqeyhib]
[*:3qqeyhib] una palla n-dimensionale di centro $x_0$ e raggio $c(t_0-t)$
[/*:m:3qqeyhib]
[*:3qqeyhib] una sfera n-dimensionale di centro $x_0$ e raggio $c(t_0-t)$[/*:m:3qqeyhib][/list:u:3qqeyhib]
L'uguaglianza sulla quale ho dei dubbi è la seguente:
$ int_(B(x_0, c(t-t_0))) (
$ = (int_(S(x_0, c(t-t_0))) (
Chiaramente $nu$ è la normale (esterna) alla sfera $S$.
Per ottenere questo risultato bisogna ricorrere all'integrazione per parti. Qualcuno saprebbe darmi qualche delucidazione o qualche riferimento dove verificare questa uguaglianza?
Risposte
Così a naso avrei detto teorema della divergenza, ma non mi torna il flusso. \( \nabla_x (\partial u / \partial t) \) e' un campo, sicur* che non sia soltanto \( \partial u / \partial t \) (nell'integrale su \(S\))?
Ciao impe,
Direi che ha ragione 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6, si tratta della prima identità di Green che si ottiene applicando il teorema della divergenza a $F = v (\nabla u) $:
$\text{div}F = v \Delta u + \langle \nabla v, \nabla u \rangle $
Per il teorema della divergenza si ha:
$\int_{\Omega} (v \Delta u + \langle \nabla v, \nabla u \rangle) \text{d}x = \int_{\del \Omega} \langle v (\nabla u), \nu \rangle \text{d}\sigma $
Quindi si ha:
$\int_{\Omega} \langle \nabla v, \nabla u \rangle \text{d}x = \int_{\del \Omega} \langle v (\nabla u), \nu \rangle \text{d}\sigma - \int_{\Omega} (v \Delta u) \text{d}x$
Assumendo $\Omega = B(x_0, c(t-t_0))$, $\del \Omega = S(x_0, c(t-t_0)) $ e $v = (\del u)/(\del t) $ si ha:
$\int_{B(x_0, c(t-t_0))} \langle \nabla ((\del u)/(\del t)), \nabla u \rangle \text{d}x = \int_{S(x_0, c(t-t_0)) } \langle (\del u)/(\del t) (\nabla u), \nu \rangle \text{d}\sigma - \int_{B(x_0, c(t-t_0))} (\Delta u) ((\del u)/(\del t)) \text{d}x$
Direi che ha ragione 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6, si tratta della prima identità di Green che si ottiene applicando il teorema della divergenza a $F = v (\nabla u) $:
$\text{div}F = v \Delta u + \langle \nabla v, \nabla u \rangle $
Per il teorema della divergenza si ha:
$\int_{\Omega} (v \Delta u + \langle \nabla v, \nabla u \rangle) \text{d}x = \int_{\del \Omega} \langle v (\nabla u), \nu \rangle \text{d}\sigma $
Quindi si ha:
$\int_{\Omega} \langle \nabla v, \nabla u \rangle \text{d}x = \int_{\del \Omega} \langle v (\nabla u), \nu \rangle \text{d}\sigma - \int_{\Omega} (v \Delta u) \text{d}x$
Assumendo $\Omega = B(x_0, c(t-t_0))$, $\del \Omega = S(x_0, c(t-t_0)) $ e $v = (\del u)/(\del t) $ si ha:
$\int_{B(x_0, c(t-t_0))} \langle \nabla ((\del u)/(\del t)), \nabla u \rangle \text{d}x = \int_{S(x_0, c(t-t_0)) } \langle (\del u)/(\del t) (\nabla u), \nu \rangle \text{d}\sigma - \int_{B(x_0, c(t-t_0))} (\Delta u) ((\del u)/(\del t)) \text{d}x$
Grazie mille pilloeffe, gentilissimo.
080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6: hai ragione, mi dispiace per l'errore e grazie anche a te per la dritta
080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6: hai ragione, mi dispiace per l'errore e grazie anche a te per la dritta
@ impe: Questa roba la trovi in appendice al testo sulle PDE di Evans. 
Lawrence C. Evans?
Non lo conoscevo, sembra un ottimo libro!
Apro un nuovo Topic al riguardo.
Non lo conoscevo, sembra un ottimo libro!
Apro un nuovo Topic al riguardo.
"impe":
Lawrence C. Evans?
Sì.
"impe":
Non lo conoscevo, sembra un ottimo libro!
Questo, da svariati anni ormai[nota]Già ci studiavo io nel 2003/'04, quindi sono passati secoli...[/nota], è un riferimento standard per tutti i corsi introduttivi alle PDE (almeno per i matematici), visto che copre un ventaglio molto ampio di argomenti.
Il fatto che tu non lo conosca mi porta una domanda: da dove stai studiando?
Ed anche un'altra (e scusa se me l'hai già detto, ma non ricordo): cosa studi?
"gugo82":
Il fatto che tu non lo conosca mi porta una domanda: da dove stai studiando?
Ed anche un'altra (e scusa se me l'hai già detto, ma non ricordo): cosa studi?
Prima domanda: libro e appunti del mio professore (che sono molto validi, solo che mi piace avere sempre due o tre riferimenti diversi)
Seconda domanda: ingegneria matematica
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