Integrale valor principale
Salve a tutti .
Purtroppo non mi è ben chiaro quando bisogna passare all'integrale nel senso del valor principale nel caso di integrali da $- infty$ a $+infty$ in cui si passa da funzione trigonometrica ad esponenziale.
Il significato di valor principale è chiaro però non quando bisogna considerarlo.
Credo che uno dei casi sia quando la funzione ausiliaria ( avente l'esponenziale) non sia continua in almeno un punto ( annulla il denominatore) però a quanto pare ci sono anche altri casi.
Qualcuno potrebbe darmi una dritta? Grazie in anticipo!
Purtroppo non mi è ben chiaro quando bisogna passare all'integrale nel senso del valor principale nel caso di integrali da $- infty$ a $+infty$ in cui si passa da funzione trigonometrica ad esponenziale.
Il significato di valor principale è chiaro però non quando bisogna considerarlo.
Credo che uno dei casi sia quando la funzione ausiliaria ( avente l'esponenziale) non sia continua in almeno un punto ( annulla il denominatore) però a quanto pare ci sono anche altri casi.
Qualcuno potrebbe darmi una dritta? Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao kekkok,
Perché non proponi un esempio concreto?
Nell'attesa darei un'occhiata qui ed anche alla versione inglese qui.
Perché non proponi un esempio concreto?
Nell'attesa darei un'occhiata qui ed anche alla versione inglese qui.
scusami se rispondo soltanto adesso.
certo , posto un esempio tramite immagine ( chiedo scusa perchè non è consentito ma non sono ancora molto pratico a scrivere formule ecc)
$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin^2(x)}{(x + 2\pi)^2 (x^2 + 4)} \text{d}x $
in questo caso considero sin(x)sin(x) e applico le formule di Werner-Prostaferesi.
Calcolo gli zeri nel campo reale ( $z=-2pi$ ) quindi singolarità eliminabile -> continua in R ed inoltre è infinitesima di ordine 4 quindi integrale assolutamente convergente e integranda sommabile quindi si passa senza considerare il v.p.
Considero la funzione ausiliaria e calcolo gli zeri in C nel semipiano superiore notando due poli semplici( uno reale e uno complesso) a questo punto credo sia il caso di passare al v.p a causa della presenza di uno polo semplice(reale)
Puoi dirmi se è corretto?
certo , posto un esempio tramite immagine ( chiedo scusa perchè non è consentito ma non sono ancora molto pratico a scrivere formule ecc)
$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin^2(x)}{(x + 2\pi)^2 (x^2 + 4)} \text{d}x $
in questo caso considero sin(x)sin(x) e applico le formule di Werner-Prostaferesi.
Calcolo gli zeri nel campo reale ( $z=-2pi$ ) quindi singolarità eliminabile -> continua in R ed inoltre è infinitesima di ordine 4 quindi integrale assolutamente convergente e integranda sommabile quindi si passa senza considerare il v.p.
Considero la funzione ausiliaria e calcolo gli zeri in C nel semipiano superiore notando due poli semplici( uno reale e uno complesso) a questo punto credo sia il caso di passare al v.p a causa della presenza di uno polo semplice(reale)
Puoi dirmi se è corretto?
"kekkok":
posto un esempio tramite immagine ( chiedo scusa perchè non è consentito ma non sono ancora molto pratico a scrivere formule ecc)
Scusa kekkok, potresti cortesemente eliminare quell'immagine orrenda e sostituirla col suo contenuto come prescrive il regolamento?
Onestamente, non ci credo che dopo 76 messaggi all'attivo sul forum tu non riesca a scrivere una sciocchezza come
$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin^2(x)}{(x + 2\pi)^2 (x^2 + 4)} \text{d}x $
$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin^2(x)}{(x + 2\pi)^2 (x^2 + 4)} \text{d}x $
"kekkok":
in questo caso considero sin(x)sin(x) e applico le formule di Werner-Prostaferesi.
Cosa c'entrano le formule di prostaferesi? Al limite, come caso particolare, quelle di Werner, ma direi molto più semplicemente la seguente:
$sin^2(x) = 1/2 [1 - cos(2x)] $
Certo, ho modificato subito.
Chiedo scusa , erano le formule di Werner cioè prodotto tra funzioni sin e cos.
Chiedo scusa , erano le formule di Werner cioè prodotto tra funzioni sin e cos.
"kekkok":
[...] cioè prodotto tra funzioni sin e cos
Casomai il prodotto fra $sin x $ e $ sin y$ (terza formula di Werner):
$ sin x sin y = 1/2 [cos(x - y) - cos(x + y)] $
Nel caso particolare $x = y $ si ottiene proprio quanto scritto nel mio post precedente:
$ sin^2(x) = 1/2 [1 - cos(2x)] $
Quella funzione non è infinitesima d'ordine $4$... Ma per il resto sì.
ah allora ordine 3 perchè abbiamo il quadrato al numeratore?
C'è un quadrato al numeratore e al denominatore un quadrato per una somma di quadrati... 
"kekkok":
ah allora ordine 3 perché abbiamo il quadrato al numeratore?
No, nemmeno... Se sei convinto che ogni infinitesimo sia dotato di ordine, ti tocca rivedere un po' le basi di Analisi I e fare due conti.
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