Integrale, teorema di Cauchy
Salve ragazzi,
vi sottopongo questo integrale. Ho svolto tutti i calcoli e un calcolo non risulta uguale alla soluzione. Vorrei capire dove sbaglio.
Si calcoli l'integrale di $(z^2+1)/(z(z-8))$ lungo $\gamma$ = circonferenza di centro $(3,0)$ e raggio $6$ .
Vi spiego il mio procedimento.
Calcolo le singolarità : $0$ e $8$. Entrambe appartengono al dominio e sono poli di ordine $1$ .
Ora, immagino di "bucare" la parte interna del dominio.. il nuovo insieme avrà frontiera l'unione di $\gamma$ , $\gamma 0 $ e $\gamma 1$ (circonferenze attorno alla singolarità). Il nuovo insieme non avrà singolarità quindi l'integrale lungo la frontiera è $0$ per Cauchy. Per proprietà additiva l'integrale lungo $\gamma$ di $f(z)$ sarà dato dalla sommatoria dei due integrali ( su $\gamma 0$ e $\gamma 1$ ).
Applicando Cauchy su $0$ l'integrale vale $ -\pi i/4$ .. e fin qui mi trovo con la soluzione.
Applicando Cauchy su $8$ qualcosa non va con i calcoli.
Ecco il mio procedimento:
Tenendo conto che
$f(z)= (1/(2\pi i)) \int ((f(z))/(z-z0)) dz $
definisco $f(z)$ = $(z^2+1)/z$ e quindi ottengo $(z^2+1)/z 2\pi i$ = $\int ((f(z))/(z-z0)) dz $
ottenuto ciò, sostituisco $z=8$ e valuto la funzione.. ecco, qui non mi trovo con la soluzione.
Il mio calcolo è $(64+1)/8$ $2\pi i$ = $65/4 \pi i$.
Risolto questo calcolo, poi è facile fare la somma e concludere l'esercizio. Cosa c'è che non va? Grazie
vi sottopongo questo integrale. Ho svolto tutti i calcoli e un calcolo non risulta uguale alla soluzione. Vorrei capire dove sbaglio.
Si calcoli l'integrale di $(z^2+1)/(z(z-8))$ lungo $\gamma$ = circonferenza di centro $(3,0)$ e raggio $6$ .
Vi spiego il mio procedimento.
Calcolo le singolarità : $0$ e $8$. Entrambe appartengono al dominio e sono poli di ordine $1$ .
Ora, immagino di "bucare" la parte interna del dominio.. il nuovo insieme avrà frontiera l'unione di $\gamma$ , $\gamma 0 $ e $\gamma 1$ (circonferenze attorno alla singolarità). Il nuovo insieme non avrà singolarità quindi l'integrale lungo la frontiera è $0$ per Cauchy. Per proprietà additiva l'integrale lungo $\gamma$ di $f(z)$ sarà dato dalla sommatoria dei due integrali ( su $\gamma 0$ e $\gamma 1$ ).
Applicando Cauchy su $0$ l'integrale vale $ -\pi i/4$ .. e fin qui mi trovo con la soluzione.
Applicando Cauchy su $8$ qualcosa non va con i calcoli.
Ecco il mio procedimento:
Tenendo conto che
$f(z)= (1/(2\pi i)) \int ((f(z))/(z-z0)) dz $
definisco $f(z)$ = $(z^2+1)/z$ e quindi ottengo $(z^2+1)/z 2\pi i$ = $\int ((f(z))/(z-z0)) dz $
ottenuto ciò, sostituisco $z=8$ e valuto la funzione.. ecco, qui non mi trovo con la soluzione.
Il mio calcolo è $(64+1)/8$ $2\pi i$ = $65/4 \pi i$.
Risolto questo calcolo, poi è facile fare la somma e concludere l'esercizio. Cosa c'è che non va? Grazie
Risposte
Il tuo calcolo è corretto... Ma qual è la soluzione proposta?
Ad ogni buon conto, tieni presente che per controllare un risultato di cui non sei sicura basta usare i residui: hai:
\[
\begin{split}
\intop_{+\partial D(3;6)} f(z)\ \text{d} z &= 2\pi\ \mathbf{i}\ \left( \operatorname{Res} (f;0) + \operatorname{Res} (f;8) \right)\\
&=2\pi\ \mathbf{i}\ \left( \left. \frac{z^2+1}{z-8}\right|_{z=0} + \left. \frac{z^2+1}{z}\right|_{z=8}\right)\\
&= 2\pi\ \mathbf{i}\ \left( -\frac{1}{8} + \frac{65}{8}\right)\\
&= 2\pi\ \mathbf{i}\ \frac{64}{8}\\
&=16\pi\ \mathbf{i}\; .
\end{split}
\]
Ad ogni buon conto, tieni presente che per controllare un risultato di cui non sei sicura basta usare i residui: hai:
\[
\begin{split}
\intop_{+\partial D(3;6)} f(z)\ \text{d} z &= 2\pi\ \mathbf{i}\ \left( \operatorname{Res} (f;0) + \operatorname{Res} (f;8) \right)\\
&=2\pi\ \mathbf{i}\ \left( \left. \frac{z^2+1}{z-8}\right|_{z=0} + \left. \frac{z^2+1}{z}\right|_{z=8}\right)\\
&= 2\pi\ \mathbf{i}\ \left( -\frac{1}{8} + \frac{65}{8}\right)\\
&= 2\pi\ \mathbf{i}\ \frac{64}{8}\\
&=16\pi\ \mathbf{i}\; .
\end{split}
\]
Ciao, anche io ho svolto il calcolo coi residui così. E mi trovo il tuo stesso risultato. Ma... non è quello della soluzione!
Il problema sta proprio nel secondo integrale.. secondo la soluzione non dovrei avere $65/ 4 \pi i $, bensì $17/4 \pi i$
Facile che invece di calcolare $8^2 + 1$, chi ha scritto il risultato abbia fatto $8\cdot 2 +1$... Capita. 
Morale della favola: dubitare sempre, anche delle soluzioni.
Morale della favola: dubitare sempre, anche delle soluzioni.
Per questo ho chiesto nel forum, però mi sembrava troppo strano ahahah
Comunque ,come sempre, grazie
Comunque ,come sempre, grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo