Integrale su una sfera della soluzione fondamentale (eq. di Laplace)
Salve, devo calcolare un certo integrale della soluzione fondamentale dell'eq. di Laplace ma non so bene come fare.
Ricordo che la soluzione fondamentale è definita su $RR^n\setminus {0}$ con $n>=3$ come $\Phi(x)=c|x|^(2-n)$ per una opportuna costante $c$.
L'integrale da calcolare è (fissato $x\in RR^n\setminus {0}$) $\Psi_\Phi(r)=\int_{\partial B_r(x)}\Phi(y)dS_y$ con l'ovvio significato dei simboli, quindi fondamentalmente $\int_{\partial B_r(x)}\|y|^(2-n)dS_y$. Ora, se $r<|x|$, si ha $\bar{B}_r(x)\subseteq RR^n\setminus {0}$ e $\Phi$ è armonica nel suo dominio, quind essendo l'integrale la media su una sfera di una funzione armonica vale il suo valore nel centro $\Phi(x)$.
Il problema è quando $r>|x|$, perchè c'è quel buchino nell'origine che impedisce di usare il teorema della divergenza. Io ho pensato di aggiungere e sottrarre $\Psi_\Phi(|x|/2)$, che saprei maneggiare per poi avere $\Psi_\Phi(r)-\Psi_\Phi(|x|/2)$, che però non so maneggiare perchè avrei pure una formula per $\Psi_u'$, ma funziona solo se $\bar{B}_r(x)\subseteq \Omega$ (dove $\Psi_u=\int_{\partial B_r(x)}u(y)dS_y$ e $\Omega$ è il dominio di $u$).
Qualcuno può darmi un suggerimento?
Ricordo che la soluzione fondamentale è definita su $RR^n\setminus {0}$ con $n>=3$ come $\Phi(x)=c|x|^(2-n)$ per una opportuna costante $c$.
L'integrale da calcolare è (fissato $x\in RR^n\setminus {0}$) $\Psi_\Phi(r)=\int_{\partial B_r(x)}\Phi(y)dS_y$ con l'ovvio significato dei simboli, quindi fondamentalmente $\int_{\partial B_r(x)}\|y|^(2-n)dS_y$. Ora, se $r<|x|$, si ha $\bar{B}_r(x)\subseteq RR^n\setminus {0}$ e $\Phi$ è armonica nel suo dominio, quind essendo l'integrale la media su una sfera di una funzione armonica vale il suo valore nel centro $\Phi(x)$.
Il problema è quando $r>|x|$, perchè c'è quel buchino nell'origine che impedisce di usare il teorema della divergenza. Io ho pensato di aggiungere e sottrarre $\Psi_\Phi(|x|/2)$, che saprei maneggiare per poi avere $\Psi_\Phi(r)-\Psi_\Phi(|x|/2)$, che però non so maneggiare perchè avrei pure una formula per $\Psi_u'$, ma funziona solo se $\bar{B}_r(x)\subseteq \Omega$ (dove $\Psi_u=\int_{\partial B_r(x)}u(y)dS_y$ e $\Omega$ è il dominio di $u$).
Qualcuno può darmi un suggerimento?
Risposte
Solo un'idea che a volte funziona: hai provato ad usare il teorema della divergenza su \( \epsilon < |x| < r \)? Forse il flusso uscente dalla pallina di raggio \( \epsilon \) si riesce a controllare se \( \epsilon \) è sufficientemente piccolo. Prova ad usare le coordinate polari.
Ci avevo più o meno pensato ad usare le coordinate polari ma non so come si usano in un numero generico di dimensioni.
"otta96":
Ci avevo più o meno pensato ad usare le coordinate polari ma non so come si usano in un numero generico di dimensioni.
https://www.math.unipd.it/~umarconi/did/intsup.pdf
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
Solo un'idea che a volte funziona: hai provato ad usare il teorema della divergenza su \( \epsilon < |x| < r \)?
Ma cosa intendi con questa frase? Come dovrei applicarlo?
"otta96":
[...] Ma cosa intendi con questa frase? Come dovrei applicarlo?
Aspetta, ti rigiro la domanda: come vorresti applicare il teorema della divergenza?
"otta96":
[...] c'è quel buchino nell'origine che impedisce di usare il teorema della divergenza [...]
\( \Phi \) è un campo scalare, non stai calcolando un flusso. Stai calcolando un integrale di superficie. Quindi di fatto problemi mi sembra che tu non ne abbia, a meno che \( r=|x|\) (in tal caso \( 0 \in B_r(x) \)). [Seguiva una cosa falsa]
$\Phi$ in effetti è radiale, ma il dominio no perchè la palla non è centrata nell'origine.
In realtà non ce l'ho tanto chiaro.
Per quanto riguarda le coordinate polari, mi servirebbe sapere come rappresentare una sfera non centrata nell'origine.
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
Aspetta, ti rigiro la domanda: come vorresti applicare il teorema della divergenza?
In realtà non ce l'ho tanto chiaro.
Per quanto riguarda le coordinate polari, mi servirebbe sapere come rappresentare una sfera non centrata nell'origine.
Vero. Quello che ho scritto sopra in effetti è falso, o vale soltanto se \( x = 0\).
Puoi equivalentemente traslare la sfera in modo che abbia il centro nell'origine.
Ma in ogni caso dovrebbe essere sempre possibile rifarsi alla proprietà della media integrale per le funzioni armoniche (\( \Phi \) è armonica su \( \partial B_r (x) \) se \(r \ne |x| \)). Non tocchi nessuna singolarità a meno che \( |x|=r\). Quello è un caso da studiare a parte.
"otta96":
[...] Per quanto riguarda le coordinate polari, mi servirebbe sapere come rappresentare una sfera non centrata nell'origine.
Puoi equivalentemente traslare la sfera in modo che abbia il centro nell'origine.
Ma in ogni caso dovrebbe essere sempre possibile rifarsi alla proprietà della media integrale per le funzioni armoniche (\( \Phi \) è armonica su \( \partial B_r (x) \) se \(r \ne |x| \)). Non tocchi nessuna singolarità a meno che \( |x|=r\). Quello è un caso da studiare a parte.
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
Puoi equivalentemente traslare la sfera in modo che abbia il centro nell'origine.
Lo so ma poi la norma viene malissimo.
Ma in ogni caso dovrebbe essere sempre possibile rifarsi alla proprietà della media integrale per le funzioni armoniche (\( \Phi \) è armonica su \( \partial B_r (x) \) se \(r \ne |x| \)). Non tocchi nessuna singolarità a meno che \( |x|=r\). Quello è un caso da studiare a parte.
Io non riesco a farlo, se hai in mente come fare mi dai delle indicazioni più specifiche?
Ok, anche la cosa delle funzioni armoniche che ho detto è falsa. \( \Phi \) dovrebbe essere armonica in tutto un dominio che contiene la palla \( B_r (x) \) affinché si possa applicare la proprietà del valor medio. Chiaramente quando \( r > |x| \) questo non succede.
Al momento non ho idea di come si faccia. Quello che probabilmente volevo dire all'inizio è che uno potrebbe usare le coordinate polari, e che non ci sono singolarità per \( \Phi \) a meno che non si abbia \( r = |x| \). Però ovviamente la palla non è centrata nell'origine, quindi i conti, ammesso che si possano fare, sembrano brutti.
Da dove viene il problema?
Al momento non ho idea di come si faccia. Quello che probabilmente volevo dire all'inizio è che uno potrebbe usare le coordinate polari, e che non ci sono singolarità per \( \Phi \) a meno che non si abbia \( r = |x| \). Però ovviamente la palla non è centrata nell'origine, quindi i conti, ammesso che si possano fare, sembrano brutti.
Da dove viene il problema?
Si infatti, i conti sembrano veramente brutti, o la norma viene veramente brutta, o la parametrizzazione (sospetto che tra le due la più brutta sia la norma), ho provato a farli questi conti ma non mi riescono.
Comunque non dovrebbe essereun problema il caso $r=|x|$, l'integrale dovrebbe convergere perchè l'ordine di infinitesimo in quel punto è minore della dimensione del dominio.
Comunque non dovrebbe essereun problema il caso $r=|x|$, l'integrale dovrebbe convergere perchè l'ordine di infinitesimo in quel punto è minore della dimensione del dominio.
Comunque ti ringrazio per i tuoi interventi e ne approfitto per rinnovare la richiesta di aiuto dato che non mi sono sbloccato.
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