Integrale su spazio con misura indotta
Ciao!
Mi interesserebbe la correttezza di questo pezzo di dimostrazione
siano $(X,F,mu)$ uno spazio misura, $(Y,G)$ uno spazio misurabile e $varphi:X->Y$ una funzione misurabile. Data la misura $mu_(varphi)(A)=mu(varphi^(leftarrow)(A)), forall A in G$ indotta da $varphi$ su $Y$ si ha
dim
Suppongo che $f=sum_(k=1)^(n)a_k* chi_(A_k)(x)$(ovvero semplice) con ${A_i}_(i=1,...,n)$ una partizione di $Y$
Noto che $fcircvarphi(x)=sum_(k=1)^(n)a_k chi_(A_k)(varphi(x))=sum_(k=1)^(n)a_k chi_(varphi^(leftarrow)(A_k))(x)$
È ancora una funzione semplice poiché ha immagine finita e ${varphi^(leftarrow)(A_i)}_(i=1,...,n)$ forma una partizione di $X$
L’integrale di questa funzione semplice è esattamente $(star)$ per le proprietà degli integrali di funzioni semplici.
In particolare l’immagine di $fcircvarphi$ è data da tutti gli $a_i$ tali per cui $varphi^(leftarrow)(A_i)ne emptyset$ e almeno uno è sicuramente non vuoto.
Quindi per $f$ semplice vale la tesi. Il resto si dimostra usando Beppo la parte che di cui mi interessa la correttezza è quella sopra.
Mi interesserebbe la correttezza di questo pezzo di dimostrazione
siano $(X,F,mu)$ uno spazio misura, $(Y,G)$ uno spazio misurabile e $varphi:X->Y$ una funzione misurabile. Data la misura $mu_(varphi)(A)=mu(varphi^(leftarrow)(A)), forall A in G$ indotta da $varphi$ su $Y$ si ha
$int_(Y)fdmu_(varphi)=int_(Y)fcircvarphidmu$ per ogni $f:Y->RR$ misurabile
dim
Suppongo che $f=sum_(k=1)^(n)a_k* chi_(A_k)(x)$(ovvero semplice) con ${A_i}_(i=1,...,n)$ una partizione di $Y$
$int_(Y)fdmu_(varphi)=sum_(k=1)^(n)a_k mu_(varphi)(A_k)=sum_(k=1)^(n)a_k mu(varphi^(leftarrow)(A_k))$ $(star)$
Noto che $fcircvarphi(x)=sum_(k=1)^(n)a_k chi_(A_k)(varphi(x))=sum_(k=1)^(n)a_k chi_(varphi^(leftarrow)(A_k))(x)$
È ancora una funzione semplice poiché ha immagine finita e ${varphi^(leftarrow)(A_i)}_(i=1,...,n)$ forma una partizione di $X$
L’integrale di questa funzione semplice è esattamente $(star)$ per le proprietà degli integrali di funzioni semplici.
In particolare l’immagine di $fcircvarphi$ è data da tutti gli $a_i$ tali per cui $varphi^(leftarrow)(A_i)ne emptyset$ e almeno uno è sicuramente non vuoto.
Quindi per $f$ semplice vale la tesi. Il resto si dimostra usando Beppo la parte che di cui mi interessa la correttezza è quella sopra.
Risposte
La dimostrazione è corretta, ma è una banalità, su. Comunque, questa è una formula che mi ha affascinato da quando ho scoperto che si possono usare le seguenti notazioni, compatibili con la geometria differenziale;
\[
\phi_\star \mu:= \mu_\phi \qquad \phi^\star f:=f\circ \phi.\]
La prima si legge "push-forward di \(\mu\)" e la seconda "pull-back di \(f\)". La formula che hai scritto diviene, allora,
\[
\int_Y f\, \phi_\star(d\mu)=\int_X (\phi^\star f)\, d\mu;\]
ovvero, push-forward e pull-back sono "duali" l'uno all'altro. In questa forma, questa formula è molto più facile da ricordare e ha una certa componente "magica"; c'è sicuramente sotto qualche struttura superiore, ma non saprei quale.
\[
\phi_\star \mu:= \mu_\phi \qquad \phi^\star f:=f\circ \phi.\]
La prima si legge "push-forward di \(\mu\)" e la seconda "pull-back di \(f\)". La formula che hai scritto diviene, allora,
\[
\int_Y f\, \phi_\star(d\mu)=\int_X (\phi^\star f)\, d\mu;\]
ovvero, push-forward e pull-back sono "duali" l'uno all'altro. In questa forma, questa formula è molto più facile da ricordare e ha una certa componente "magica"; c'è sicuramente sotto qualche struttura superiore, ma non saprei quale.
[ot]non mi lascio sfuggire nulla quando sono sotto l’ombrellone; banalità o meno 
Per esempio non avevo mai avuto bisogno di notare che
per quanto riguarda il push-forward ci sono ma sul pull-back un po’ meno
Purtroppo penso che con non riuscirò mai a vedere granché di geometria differenziale se non da autodidatta
Comunque concordo sulla bellezza di questa formula; molte altre di teoria della misura sono davvero belle.
A me piace molto perché insieme ad un’altra uguaglianza simile(con il prodotto di funzioni) viene caratterizzato il classico valore atteso di variabili aleatorie continue con densità
Per esempio non avevo mai avuto bisogno di notare che
$chi_Acircvarphi=chi_(varphi^(leftarrow)(A))$
[/ot]per quanto riguarda il push-forward ci sono ma sul pull-back un po’ meno
Purtroppo penso che con non riuscirò mai a vedere granché di geometria differenziale se non da autodidatta
Comunque concordo sulla bellezza di questa formula; molte altre di teoria della misura sono davvero belle.
A me piace molto perché insieme ad un’altra uguaglianza simile(con il prodotto di funzioni) viene caratterizzato il classico valore atteso di variabili aleatorie continue con densità
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