Integrale su 0 e 2\pi

[Maxandri1]

Ciao,
devo risolvere il seguente integrale
\[\int_{0}^{2\pi }\frac{dx}{a+sinx}\] con \[\left | a \right |>1\]
se sostituisco z=e^ix trovo, dopo qualche passaggio,
\[\int_{-\infty }^{\infty }\frac{2dz}{z^2+2aix-1}\]
Cercando gli zeri del denominatore trovo
\[z=-ia+-\sqrt{1-a^2}\] come trovo il risultato? Poi continuo con i residui?
Grazie

[GattoObeso1]

$ I=int_(0)^(2pi) (dx)/(a+sinx) $

con la sostituzione $ z= e^(ix) $ diventa:

$I= 2int_(|z|=1) (dz)/(z^2+2aiz-1) $

Gli zeri del denominatore sono:

$ z_(1)=-ai+isqrt(a^(2)-1) $
$ z_(2)=-ai-isqrt(a^(2)-1) $

$ z_(2) $ cade fuori dal cerchio di raggio 1, mentre $ z_(1) $ cade all'interno.
Dunque l'integrale cercato, per il teorema dei residui, vale:

$ I=2pi i * 2 * R[z_(1)] $

$ R[z_(1)]= lim_(z -> z_(1)) (z-z_(1))*f(z)=lim_(z -> z_(1))(z-z_(1))/((z-z_(1))*(z-z_(2)))=lim_(z -> z_(1)) 1/(z-z_(2))=1/(2isqrt(a^(2)-1)) $

Dunque:

$ I=2pi i * 2 * R[z_(1)]=(2pi)/sqrt(a^(2)-1) $

Si può anche dimostrare la seguente formula risolutiva:

$ I=int_(0)^(2pi) (dx)/(a+bcosx+csinx) =2pi*(sgn(a))/sqrt(a^2-b^2-c^2) $

nell'ipotesi $ a^2>b^2+c^2 $