Integrale funzione reale passando al campo complesso

[CallistoBello]

[hl][/hl]Nel calcolo del seguente integrale : $ int_(0)^(+infty) (x^3sinx)/((1+x^2)(4+x^2)) dx $
ho i seguenti problemi:
PROBLEMA1. io mi trovo che vale: $ipi [2/3isinh(2)-isinh(1)/6]$ che è diverso da $(pi(e-4))/(6e^2)$ (Risultato fornito da Wolfram)
PROBLEMA2. ho applicato il [Lemma del grande cerchio] (2°lemma di Jordan) , ma andando a verificare il $lim_( z->infty) zf(z)$ ho che questo limite non fa $0$ ma fa $infty$

Ragionamento seguito:
1.Considerato che f è PARI , ho calcolato quell'integrale come "metà" del corrispettivo integrale tra $-infty$ e $+infty$
2.dopodiché sono passato al piano complesso, ho considerato un semicerchio di raggio Rgrande
ed ho calcolato, tramite [teorema dei residui], l' Integrale curvilineo della corrispettiva f(z) esteso alla frontiera del dominio $D_R$ racchiuso in quella semicirconferenza
ottenendo che:
$ int_(+partial D_R) (z^3sinz)/((1+z^2)(4+z^2)) dz=2ipi [2/3isinh(2)-isinh(1)/6]$
3.Siccome ci interessa un integrale reale, ho "SPEZZATO" quell'integrale curvilineo come somma dei due integrali curvilinei rispettivamente estesi alla : Curva: semicirconferenza e Curva: segmento da -R ad R

$2ipi [2/3isinh(2)-isinh(1)/6]= int_(gamma_R)f(z)dz+int_(-R)^(R) f(x)dx$

che per R->$+infty$ diventa:

$2ipi [2/3isinh(2)-isinh(1)/6]= int_(gamma_infty)f(z)dz+int_(-infty)^(infty) f(x)dx$

PROBLEMA2: per il [lemma di jordan] dovrei avere che:

$int_(gamma_infty)f(z)dz= lim_(z->infty) zf(z)=0$

ma quello che ottengo è che:

$lim_(z->infty) (z^4sinz)/((1+z^2)(4+z^2))=infty$

Sintesi: Vorrei sapere
-perché non mi trovo col risultato
- e se ho sbagliato il calcolo del limite di jordan oppure effettivamente in questo caso il LEMMA non funge

[Quinzio]

Puoi partire considerando che

$\sin z = (e^{iz}-e^{-iz})/(2j)$

quindi separare in due integrali:

$ int_(0)^(+infty) (x^3sinx)/((1+x^2)(4+x^2)) dx = 1/(2i) int_(0)^(+infty) (x^3e^{ix})/((1+x^2)(4+x^2)) dx - 1/(2i)int_(0)^(+infty) (x^3e^{-ix})/((1+x^2)(4+x^2)) dx$

Passando poi al piano complesso per il primo integrale

$int_{\gamma} (z^3e^{iz})/((1+z^2)(4+z^2)) dz $

si puo cosiderare il percorso, come avevi giustamente fatto tu, composto dall'asse reale e dal semicerchio superiore.

L'integrale sul semicerchio va sicuramente a zero, siccome siamo nel semipiano superiore dove $Im(z) > 0$ e quindi

$|e^{iz}| = |e^{Re(iz)}| |e^{iIm(iz)}| = |e^{Re(iz)}| = |e^{-Im(z)}|$ siccome $|e^{iIm(iz)}| = 1$.

Anche con l'altro integrale si puo' fare in modo che l'integrale sul semicerchio vada a zero, ma bisogna prendere il semicerchio nel semipiano inferiore, in modo che $Im(z) < 0$.
Quindi occhio al verso di percorrenza dell'asse reale.

[pilloeffe]

Ciao CallistoBello,

Comincerei con l'osservare che la funzione integranda è pari, per cui si ha:

$\int_0^{+\infty} (x^3 sinx)/((1+x^2)(4+x^2)) \text{d}x = 1/2 I = 1/2 \int_{-\infty}^{+\infty} (x^3 sinx)/((1+x^2)(4+x^2)) \text{d}x $

Per l'integrale $I$ si ha $I = \text{Im}I_1 $

ove $I_1 = PV \int_{-\infty}^{+\infty} (x^3 sinx)/((1+x^2)(4+x^2)) \text{d}x $

Per calcolare $I_1 $ userei la funzione ausiliaria $f(z) = (z^3 e^{iz})/((1+z^2)(4+z^2)) $

Considerando il percorso sul semipiano superiore $\text{Im}[z] > 0 $ si ha:

$ I_1 = 2\pi i \text{Res}[f(z); 2 i] + 2\pi i \text{Res}[f(z); i] = 2\pi i[2/(3e^2) - 1/(6e)] = \pi i[4/(3e^2) - 1/(3e)] = \pi i \frac{4 - e}{3e^2}$

Quindi in effetti si ha:

$\int_0^{+\infty} (x^3 sinx)/((1+x^2)(4+x^2)) \text{d}x = 1/2 I = \pi \frac{4 - e}{6e^2} $