Integrale dipendente da un parametro, oppure no?
Salve, mi è venuto un dubbio risolvendo un esercizio. Sostanzialmente l'esercizio è questo
\[ L_t(x) = \frac{1}{\sqrt{4 \pi c^2 t}} e^{ - \frac{x^2}{4c^2t}} \]
E bisogna dimostrare che per ogni \( \delta >0 \)
\[ \lim_{t \to 0^+} \int_{ \left| x \right| > \delta } L_t(x) dx = 0 \]
La domanda non è sull'esercizio ma sull'applicazione del teorema della convergenza dominata facendo un cambiamento di variabile. Per questo metto in spoiler l'esercizio.
Stime per applicare il teorema della convergenza dominata: \(A_{t} = \mathbb{R} \setminus [-\frac{\delta}{ \sqrt{4 \pi c^2 t}} , \frac{\delta}{ \sqrt{4 \pi c^2 t}} ] \) per un \( \delta \) fissato. E cambiamento di variabile \( y= \sqrt{4 \pi x^2 t} x \):
\[ \chi_{A_t}e^{- \pi y^2} \leq e^{- \pi y^2} \in L^1{\mathbb{R}} \]
Ma poi mi sono domandato, noi abbiamo definito un cambiamento di veriabile \( y= \sqrt{4 \pi c^2 t} x \) non è quindi che la \(y \) dipende ancora da \(t\) e quindi non possiamo applicare la convergenza dominata poiché la funzione dominante in \(L^1\) è ancora dipendente da \(t\)?
La risposta il prof ha detto che è no, poiché \(y \) non dipende da \(t\). Facendo questo esempio e due ragionamenti:
Ragionamento 1)
Definiamo, per \(f \in L^1(0,1) \) e per un certo \( \alpha >0 \)
\[ I_{\alpha} = \int_{0}^{1} f(x) dx \]
Il membro di destra non dipende da \( \alpha \), quindi anche \( I_{\alpha} \) non dipende da \( \alpha \). Si può vedere prendendo la derivata rispetto ad \( \alpha \) che fa 0.
Pertanto se facciamo il cambiamento di variabile \( y= \alpha x \) otteniamo
\[ I_{\alpha} = \int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1/ \alpha} f(\alpha y) \frac{1}{\alpha}dy \]
Pertanto, a fortiori, nemmeno l'integrale
\[ \int_{0}^{1/ \alpha} f(\alpha y) \frac{1}{\alpha}dy \]
dipende da \( \alpha \). E ha detto che è la risposta giusta è che quest'ultimo integrale non dipende da \( \alpha \).
Ragionamento 2)
Poi ha aggiunto che ragionando al contrario se avesse dato prima
\[ I_{\alpha}=\int_{0}^{1/ \alpha} f(\alpha y) \frac{1}{\alpha}dy \]
avremmo detto tutti che l'integrale dipende da \( \alpha \) ed effettuando il cambiamento di variabile inverso \( x= \frac{y}{\alpha} \) otteniamo
\[ I_{\alpha}=\int_{0}^{1/ \alpha} f(\alpha y) \frac{1}{\alpha}dy = \int_{0}^{1} f(x) dx\]
l'ultimo integrale non dipende da \( \alpha \), pertanto potremmo pensare che siccome arriva da un integrale che dipende da \( \alpha \) allora \(x\) in realtà dipende da \( \alpha\).
Ha concluso che in un integrale una variabile dipende da \( \alpha \) se gli estremi di integrazione dipendono da \( \alpha \). Quindi nel ragionamento 2)
- \( x \) non dipende da \( \alpha \) poiché \(x \) dipende esclusivamente da \( [0,1] \) mentre \( y \) dipende da \(\alpha \) perché \( y \) dipende dall'intervallo \( [0,1/\alpha]\).
Domande
- Allora perché mi dice che nel ragionamento 1) l'integrale seguente non dipende da \( \alpha\)? \[ \int_{0}^{1/ \alpha} f(\alpha y) \frac{1}{\alpha}dy \]
Mi sembra che \( y \) dipende da \( \alpha \) siccome vive nell'intervallo \( [0,1/\alpha] \).
Può l'integrale seguente sia dipendere sia non dipendere da \( \alpha \) a dipendenza da come lo otteniamo?
\[ \int_{0}^{1/ \alpha} f(\alpha y) \frac{1}{\alpha}dy \]
Oppure nel ragionamento 1) l'integrale non dipende da \( \alpha \) poiché devo pensare che \( \alpha y \) dipende da \( [0,1] \), quindi l'integrale non dipende da \( \alpha \) ma la variabile si? Non ho capito. Cioè il prof ha detto una volta che \( \int_{0}^{1/ \alpha} f(\alpha y) \frac{1}{\alpha}dy \) non dipende da \( \alpha \) nel ragionamento 1) dicendo che è la risposta giusta, poi ha detto che \( \int_{0}^{1/ \alpha} f(\alpha y) \frac{1}{\alpha}dy \) dipende da \( \alpha \) nel ragionamento 2)... non capisco
\[ L_t(x) = \frac{1}{\sqrt{4 \pi c^2 t}} e^{ - \frac{x^2}{4c^2t}} \]
E bisogna dimostrare che per ogni \( \delta >0 \)
\[ \lim_{t \to 0^+} \int_{ \left| x \right| > \delta } L_t(x) dx = 0 \]
La domanda non è sull'esercizio ma sull'applicazione del teorema della convergenza dominata facendo un cambiamento di variabile. Per questo metto in spoiler l'esercizio.
Stime per applicare il teorema della convergenza dominata: \(A_{t} = \mathbb{R} \setminus [-\frac{\delta}{ \sqrt{4 \pi c^2 t}} , \frac{\delta}{ \sqrt{4 \pi c^2 t}} ] \) per un \( \delta \) fissato. E cambiamento di variabile \( y= \sqrt{4 \pi x^2 t} x \):
\[ \chi_{A_t}e^{- \pi y^2} \leq e^{- \pi y^2} \in L^1{\mathbb{R}} \]
Ma poi mi sono domandato, noi abbiamo definito un cambiamento di veriabile \( y= \sqrt{4 \pi c^2 t} x \) non è quindi che la \(y \) dipende ancora da \(t\) e quindi non possiamo applicare la convergenza dominata poiché la funzione dominante in \(L^1\) è ancora dipendente da \(t\)?
La risposta il prof ha detto che è no, poiché \(y \) non dipende da \(t\). Facendo questo esempio e due ragionamenti:
Ragionamento 1)
Definiamo, per \(f \in L^1(0,1) \) e per un certo \( \alpha >0 \)
\[ I_{\alpha} = \int_{0}^{1} f(x) dx \]
Il membro di destra non dipende da \( \alpha \), quindi anche \( I_{\alpha} \) non dipende da \( \alpha \). Si può vedere prendendo la derivata rispetto ad \( \alpha \) che fa 0.
Pertanto se facciamo il cambiamento di variabile \( y= \alpha x \) otteniamo
\[ I_{\alpha} = \int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1/ \alpha} f(\alpha y) \frac{1}{\alpha}dy \]
Pertanto, a fortiori, nemmeno l'integrale
\[ \int_{0}^{1/ \alpha} f(\alpha y) \frac{1}{\alpha}dy \]
dipende da \( \alpha \). E ha detto che è la risposta giusta è che quest'ultimo integrale non dipende da \( \alpha \).
Ragionamento 2)
Poi ha aggiunto che ragionando al contrario se avesse dato prima
\[ I_{\alpha}=\int_{0}^{1/ \alpha} f(\alpha y) \frac{1}{\alpha}dy \]
avremmo detto tutti che l'integrale dipende da \( \alpha \) ed effettuando il cambiamento di variabile inverso \( x= \frac{y}{\alpha} \) otteniamo
\[ I_{\alpha}=\int_{0}^{1/ \alpha} f(\alpha y) \frac{1}{\alpha}dy = \int_{0}^{1} f(x) dx\]
l'ultimo integrale non dipende da \( \alpha \), pertanto potremmo pensare che siccome arriva da un integrale che dipende da \( \alpha \) allora \(x\) in realtà dipende da \( \alpha\).
Ha concluso che in un integrale una variabile dipende da \( \alpha \) se gli estremi di integrazione dipendono da \( \alpha \). Quindi nel ragionamento 2)
- \( x \) non dipende da \( \alpha \) poiché \(x \) dipende esclusivamente da \( [0,1] \) mentre \( y \) dipende da \(\alpha \) perché \( y \) dipende dall'intervallo \( [0,1/\alpha]\).
Domande
- Allora perché mi dice che nel ragionamento 1) l'integrale seguente non dipende da \( \alpha\)? \[ \int_{0}^{1/ \alpha} f(\alpha y) \frac{1}{\alpha}dy \]
Mi sembra che \( y \) dipende da \( \alpha \) siccome vive nell'intervallo \( [0,1/\alpha] \).
Può l'integrale seguente sia dipendere sia non dipendere da \( \alpha \) a dipendenza da come lo otteniamo?
\[ \int_{0}^{1/ \alpha} f(\alpha y) \frac{1}{\alpha}dy \]
Oppure nel ragionamento 1) l'integrale non dipende da \( \alpha \) poiché devo pensare che \( \alpha y \) dipende da \( [0,1] \), quindi l'integrale non dipende da \( \alpha \) ma la variabile si? Non ho capito. Cioè il prof ha detto una volta che \( \int_{0}^{1/ \alpha} f(\alpha y) \frac{1}{\alpha}dy \) non dipende da \( \alpha \) nel ragionamento 1) dicendo che è la risposta giusta, poi ha detto che \( \int_{0}^{1/ \alpha} f(\alpha y) \frac{1}{\alpha}dy \) dipende da \( \alpha \) nel ragionamento 2)... non capisco
Risposte
Oppure l'integrale non dipende da \( \alpha \) in entrambi i ragionamenti mentre \( y \) dipende da \( \alpha \) in entrambi i casi?
Quell’integrale non dipende da $\alpha$. Il punto è che se fosse dipeso da $\alpha$ non saresti riuscito a farlo sparire sia dalla funzione che dagli estremi di integrazione.
Nell’esempio precedente il parametro finisce nel dominio di integrazione, ma questo non ti impedisce di trovare una maggiorante integrabile, quindi niente di strano.
Quindi il prof intendeva che l'integrale
\[ \int_{0}^{1/\alpha} \frac{1}{\alpha} f(\alpha y) dy \]
non dipende da \( \alpha \), mentre la variabile \( y \) dipende da \( \alpha \).
Mentre dopo il cambio di variabile
\[ \int_{0}^{1} f(x) dx \]
sia l'integrale che la variabile \(x\) non dipendono da \( \alpha \) e dunque la minorazione per applicare il teorema della convergenza dominata è legittima?
\[ \int_{0}^{1/\alpha} \frac{1}{\alpha} f(\alpha y) dy \]
non dipende da \( \alpha \), mentre la variabile \( y \) dipende da \( \alpha \).
Mentre dopo il cambio di variabile
\[ \int_{0}^{1} f(x) dx \]
sia l'integrale che la variabile \(x\) non dipendono da \( \alpha \) e dunque la minorazione per applicare il teorema della convergenza dominata è legittima?
Quello che intende il prof, in soldoni, è che, quando l’integrale dipende davvero da un parametro, se riesci a toglierlo dalla funzione dovrà spuntare fuori nel dominio di integrazione, o viceversa. Se invece riesci a toglierlo da entrambe allora sai che in realtà l’integrale non dipendeva da $\alpha$. Nel tuo esempio $y$ è una variabile, dunque non dipende da $\alpha,$ mentre $\phi(y)=\alpha y$ dipende chiaramente da $\alpha$; l’integrale invece non dipende da $\alpha$. E comunque quel cambio di variabile è sbagliato.
e dunque la minorazione per applicare il teorema della convergenza dominata è legittima?
Nel primo esempio che fai, non ho controllato i conti ma il parametro finisce nel dominio di integrazione. A quel punto la funzione moltiplicata per la f. caratteristica ha una maggiorante integrabile che non dipende dal parametro e quindi puoi usare convergenza dominata.
"Ancona":
Quello che intende il prof, in soldoni, è che, quando l’integrale dipende davvero da un parametro, se riesci a toglierlo dalla funzione dovrà spuntare fuori nel dominio di integrazione, o viceversa. Se invece riesci a toglierlo da entrambe allora sai che in realtà l’integrale non dipendeva da $\alpha$. Nel tuo esempio $y$ è una variabile, dunque non dipende da $\alpha,$ mentre $\phi(y)=\alpha y$ dipende chiaramente da $\alpha$; l’integrale invece non dipende da $\alpha$. E comunque quel cambio di variabile è sbagliato.
Due cose.
- Il prof ha detto una variabile dipende dall'intervallo in cui prende valori, pertanto se l'intervallo è dipendente da \( \alpha \) la variabile \(y \) dipende da \( \alpha \).
- Quale cambio di variabile è sbagliato scusa?
Quale cambio di variabile è sbagliato scusa?
Quello dell'esempio con il parametro $\alpha.$
Il prof ha detto una variabile dipende dall'intervallo in cui prende valori, pertanto se l'intervallo è dipendente da α la variabile y dipende da α
Io potrei tranquillamente scrivere $$\int_0^1 f(x)dx=\int_{\phi(0)}^{\phi(1/\alpha)} f(x)dx= \int_0^{1/\alpha} f(\phi(x))\phi'(x)dx$$ dove $\phi$ è la funzione $\phi:x \mapsto \alpha x$; adesso $x$ "dipende" o no da $\alpha$?
Potrei anche scrivere, senza ambiguità, $$\int_0^1 f =\int_{\phi(0)}^{\phi(1/\alpha)} f = \int_0^{1/\alpha} (f \circ \phi) \phi'$$
Se vuoi dare un significato formale alla scrittura $f(x)$ devi vederla come la composizione di $f$ con la funzione identica $x \mapsto x.$
Una funzione ha un dominio, un integrale definito dipende dall'intervallo in cui integri e dalla funzione che integri. Fine.
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