Integrale di "linea", complesso: definizione
Sera a tutti,
avrei un problema con la definizione di integrale complesso perché applicandola mi accorgo che qualcosa non va.
In particolare mi è stata data la definizione di integralecomplesso lungo una parametrizzazione complessa nel piano di argand-gauss come:
$\int_a^b[u(x(t),y(t))+iv(x(t),y(t))][(dx)/(dt)+i(dy)/(dt)]dt$
volevo integrare z come proposto dal porfessore su un quadrato di vertici: 0,1,(1+i), i
ho parametrizzato i lati scrivendo
$\gamma_1=(t+i0), t\in[0,1] -> \gamma'=(1+i0)$
$\gamma_2=(1+it), t\in[0,1] -> \gamma'=(0+i)$
$\gamma_3=(t+i), t\in[0,1] -> \gamma'=(1+i0)$
$\gamma_4=(0+it), t\in[0,1] -> \gamma'=(0+i)$
Il fatto che integrando z=x+iy e sfruttando la parametrizzazione avrei:
$I_1=\int_0^1(t+i0)(1+i0)dt=1$ sfruttando il prodotto complesso
$I_2=\int_0^1(1+it)(0+i)dt=-1/2+i$
$-I_3=-\int_0^1(t+i)(1+i0)dt=-1/2-i$
$-I_4=-\int_0^1(0+it)(0+i)dt=-(-1)=1$
Cioè il totale sarebbe 1, invece dovrebbe essere zero.
Devo aver capito male la definizione o non saprei cosa sbaglio.
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Procedo con il secondo dubbio poiché il professore non ha risolto tale integrale seguendo la definizione data all'inizio,ma sfruttando la notazione semplificata che esce sviluppando i calcoli della prima definizione, ovvero:
$\int_\gamma(u+iv)(dx+idy)$
Che applicato al nostro semplice caso sarebbe:
$\int_\gamma(x+iy)(dx+idy)=\int_\gamma(xdx-ydy)+i\int_gamma(xdy+ydx)$
fin qua ci sono,poiché ha applicato la formula semplificata, però poi scrive:
$\int_\gammaxdx=\int_0^1xdx+\int_1^0xdx=0$
$\int_\gammaydy=\int_0^1ydy+\int_1^0ydy=0$
$\int_\gammaxdy=x(\int_0^1dy+\int_1^0dy)=0$
$...=0$
e quello che non comprendo è il motivo per cui ogni integrale su gamma diventi come somma di due integrali che corrono tra 0->1 e 1->0, non capisco come faccia a tirare fuori questi valori per gli estremi di integrazione.
avrei un problema con la definizione di integrale complesso perché applicandola mi accorgo che qualcosa non va.
In particolare mi è stata data la definizione di integralecomplesso lungo una parametrizzazione complessa nel piano di argand-gauss come:
$\int_a^b[u(x(t),y(t))+iv(x(t),y(t))][(dx)/(dt)+i(dy)/(dt)]dt$
volevo integrare z come proposto dal porfessore su un quadrato di vertici: 0,1,(1+i), i
ho parametrizzato i lati scrivendo
$\gamma_1=(t+i0), t\in[0,1] -> \gamma'=(1+i0)$
$\gamma_2=(1+it), t\in[0,1] -> \gamma'=(0+i)$
$\gamma_3=(t+i), t\in[0,1] -> \gamma'=(1+i0)$
$\gamma_4=(0+it), t\in[0,1] -> \gamma'=(0+i)$
Il fatto che integrando z=x+iy e sfruttando la parametrizzazione avrei:
$I_1=\int_0^1(t+i0)(1+i0)dt=1$ sfruttando il prodotto complesso
$I_2=\int_0^1(1+it)(0+i)dt=-1/2+i$
$-I_3=-\int_0^1(t+i)(1+i0)dt=-1/2-i$
$-I_4=-\int_0^1(0+it)(0+i)dt=-(-1)=1$
Cioè il totale sarebbe 1, invece dovrebbe essere zero.
Devo aver capito male la definizione o non saprei cosa sbaglio.
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Procedo con il secondo dubbio poiché il professore non ha risolto tale integrale seguendo la definizione data all'inizio,ma sfruttando la notazione semplificata che esce sviluppando i calcoli della prima definizione, ovvero:
$\int_\gamma(u+iv)(dx+idy)$
Che applicato al nostro semplice caso sarebbe:
$\int_\gamma(x+iy)(dx+idy)=\int_\gamma(xdx-ydy)+i\int_gamma(xdy+ydx)$
fin qua ci sono,poiché ha applicato la formula semplificata, però poi scrive:
$\int_\gammaxdx=\int_0^1xdx+\int_1^0xdx=0$
$\int_\gammaydy=\int_0^1ydy+\int_1^0ydy=0$
$\int_\gammaxdy=x(\int_0^1dy+\int_1^0dy)=0$
$...=0$
e quello che non comprendo è il motivo per cui ogni integrale su gamma diventi come somma di due integrali che corrono tra 0->1 e 1->0, non capisco come faccia a tirare fuori questi valori per gli estremi di integrazione.
Risposte
"wsualfredo":
$I_1=\int_0^1(t+i0)(1+i0)=...$
$-I_4=-\int_0^1(0+it)(0+i)=...$
Calcola di nuovo questi due integrali.
e quello che non comprendo è il motivo per cui ogni integrale su gamma diventi come somma di due integrali che corrono tra 0->1 e 1->0, non capisco come faccia a tirare fuori questi valori per gli estremi di integrazione.
Ci sono quattro integrali, uno per ogni segmento [(0,0),(1,0)], [(1,0),(1,1)], [(1,1), (0,1)] e [(0,1),(0,0)]. Due di loro sono nulli.
Ciao,
riguardo la prima domanda e il fatto che mi chiedessi di ripetere il calcolo dei due integrali, se non ho erato la parametrizzazione,direi che vengono $+1/2$ uno e $+1/2$ l'altro quindi viene sommando tutto: $0$
Sinceramente non so che calcolo avessi fatto ieri a mente lol.
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Per il secondo suggerimento, invece, vorrei chiederti se potessi essere più chiaro perché sono tonto e non ho mica capito
Infatti guardando i miei appunti, così come quelli di un compagno risultano tutti e quattro nulli, come scrivevo, perché corrono con la stessa integranda tra due estremi di integrazione inversi, cioè spezza ogni integraledei quattro in altri due integrali tra 0,1 e 1,0 e quindi vengono nulli. Ma ilmotivo mi è oscuro.
Grazie per l'aiuto e la pazienza e buona domenica a te
riguardo la prima domanda e il fatto che mi chiedessi di ripetere il calcolo dei due integrali, se non ho erato la parametrizzazione,direi che vengono $+1/2$ uno e $+1/2$ l'altro quindi viene sommando tutto: $0$
Sinceramente non so che calcolo avessi fatto ieri a mente lol.
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Per il secondo suggerimento, invece, vorrei chiederti se potessi essere più chiaro perché sono tonto e non ho mica capito
"wsualfredo":
$\int_\gamma(u+iv)(dx+idy)$
Che applicato al nostro semplice caso sarebbe:
$\int_\gamma(x+iy)(dx+idy)=\int_\gamma(xdx-ydy)+i\int_gamma(xdy+ydx)=\int_\gammaxdx-\int_\gammaydy+i\int_gammaxdy+i\int_\gammaydx$
fin qua ci sono,poiché ha applicato la formula semplificata, però poi scrive:
$1)\int_\gammaxdx=\int_0^1xdx+\int_1^0xdx=0$
$2)\int_\gammaydy=\int_0^1ydy+\int_1^0ydy=0$
$3)\int_\gammaxdy=x(\int_0^1dy+\int_1^0dy)=0$
$4)[calcoli]=0$
Sostanzialmente va a giocare sulla notazione senza andare realmente a parametrizzare
Infatti guardando i miei appunti, così come quelli di un compagno risultano tutti e quattro nulli, come scrivevo, perché corrono con la stessa integranda tra due estremi di integrazione inversi, cioè spezza ogni integraledei quattro in altri due integrali tra 0,1 e 1,0 e quindi vengono nulli. Ma ilmotivo mi è oscuro.
Grazie per l'aiuto e la pazienza e buona domenica a te
La $gamma$ è tutta la curva ed ha lati paralleli agli assi; quando si integra rispetto ad $x$ il contributo sui lati paralleli all’asse $y$ sono nulli e quelli sui lati opposti sono uguali e discordi; stessa cosa con gli integrali rispetto ad $y$.
Credo di aver capito, grazie è stato illuminante "gamma è TUTTA la curva" 
è stato illuminante "gamma è TUTTA la curva"
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