Integrale di Lebesgue

[Pinturicchio10]

Buongiorno a tutti,
vorrei chiedervi un aiuto sulla seguente questione. Sto studiando la teoria dell 'integrazione secondo Lebesgue e ho un quesito da sottoporvi sul quale mi sto tormentando da giorni. Il prof ha definito una funzione f (misurabile) integrabile se, e solo se, il suo integrale superiore e inferiore coincidono, dove è il primo è l'estremo inferiore di tutti gli integrali delle funzioni semplici maggiori di f e il secondo è l'estremo superiore di tutti gli integrali delle funzioni semplici minori di f. Ha assegnato poi l'esercizio di provare che ogni funzione (misurabile) non negativa allora è sempre integrabile, dando il suggerimento di costruire una successioni di funzioni semplici opportuna. Ho pensato a come fare ma non ne ho cavato molto. Quindi chiedo se qualcuno di voi può aiutarmi in questa dimostrazione.
Ringrazio chiunque interverrà in mio soccorso.

N.B. Con integrabilità si intende che l'integrale esiste, eventualmente infinito.

[Pinturicchio10]

Aggiungo una domanda accessoria che è più un mio intoppo logico. So bene che ogni funzione sommabile ha integrale finito, ma in generale non vale il viceversa, con tanto di controesempi. Ho pensato che ciò sia vero in quanto $abs(f)=f^(+)+f^(-)$ e se l'integrale è finito allora l'integrale di parte positiva e negativa sono entrambi finiti e quindi poichè l'integrale di f è la loro differenza risulta anch'esso finito. Ora il viceversa appunto non è valido ma con lo stesso ragionamento non si potrebbe concludere che se f ha integrale finito, cioè sia quello di $f^+$ e $f^-$ lo sono, allora anche quello di $abs(f)$ lo è?

[gugo82]

Il punto è che $f=f^+ - f^(-)$, quindi gli integrali delle due parti potrebbero essere entrambi $+oo$ ma la loro differenza essere finita... Di solito questo si cerca di evitarlo e si definisce "integrabile secondo Lebesgue" una funzione $L^1$, cioè sommabile.

Per quanto riguarda la questione del primo post, beh è una costruzione classica.
La trovi sul Rudin, per esempio.