Integrale di funzione polidroma con teorema dei residui.
Buon pomeriggio
. Ho trovato difficoltà con questo integrale da risolvere col teorema dei residui:
$ \int_(0)^(infty) dx/(x^p(x+3)) $ con 0 Credo che la mia difficoltà risieda nel modo di affrontare la polidromia della funzione.
Riporto il ragionamento che ho seguito:
- trovare le singolarità della funzione, che in questo caso sono 0,-3.
- operare il taglio del piano complesso (ho tagliato il semiasse delle x positive da 0 a ∞).
- considerare l'integrale sul contorno formato dalla circonferenza di raggio ε che ruota attorno allo 0 e quella di raggio R - che poi tenderanno rispettivamente a 0 e ∞ - e i segmenti che vanno da ε ad R e da R ad ε, che passano sopra e sotto il taglio, ovvero:
$ (\int_(gamma_epsilon)+\int_(gamma_R)) dz/(z^p(z+3)) +\int_(R)^(epsilon)dx/(x^p(x+3)) +\int_(R)^epsi dx/(x^p e^(i2pip $
- per l'uniforme convergenza della funzione posso eliminare i contributi degli integrali sulle due circonferenze, quindi mi rimane:
$ (1-e^()i2pip)\int_(R)^(epsilon)dx/(x^p(x+3))= 2pii1/3^p $
Mi rendo conto che il risultato è sbagliato poiché la i dovrebbe sparire, dato che l'integrando è reale. Mi domando, inoltre se nel calcolare i residui, si debba considerare sia la $z^p$ sopra il taglio che quella sotto.
Mi scuso in anticipo se non sono stato chiaro o se i miei dubbi siano banali.

$ \int_(0)^(infty) dx/(x^p(x+3)) $ con 0 Credo che la mia difficoltà risieda nel modo di affrontare la polidromia della funzione.
Riporto il ragionamento che ho seguito:
- trovare le singolarità della funzione, che in questo caso sono 0,-3.
- operare il taglio del piano complesso (ho tagliato il semiasse delle x positive da 0 a ∞).
- considerare l'integrale sul contorno formato dalla circonferenza di raggio ε che ruota attorno allo 0 e quella di raggio R - che poi tenderanno rispettivamente a 0 e ∞ - e i segmenti che vanno da ε ad R e da R ad ε, che passano sopra e sotto il taglio, ovvero:
$ (\int_(gamma_epsilon)+\int_(gamma_R)) dz/(z^p(z+3)) +\int_(R)^(epsilon)dx/(x^p(x+3)) +\int_(R)^epsi dx/(x^p e^(i2pip $
- per l'uniforme convergenza della funzione posso eliminare i contributi degli integrali sulle due circonferenze, quindi mi rimane:
$ (1-e^()i2pip)\int_(R)^(epsilon)dx/(x^p(x+3))= 2pii1/3^p $
Mi rendo conto che il risultato è sbagliato poiché la i dovrebbe sparire, dato che l'integrando è reale. Mi domando, inoltre se nel calcolare i residui, si debba considerare sia la $z^p$ sopra il taglio che quella sotto.

Mi scuso in anticipo se non sono stato chiaro o se i miei dubbi siano banali.
Risposte
Il residuo in $-3$ l'hai controllato?
"A occhio" non mi pare corretto.
Per quanto riguarda il calcolo del residuo, $-3$ è interni ad una regione in cui l'integrando complesso è olomorfo, quindi non ci sono problemi di taglio e bordi.
"A occhio" non mi pare corretto.
Per quanto riguarda il calcolo del residuo, $-3$ è interni ad una regione in cui l'integrando complesso è olomorfo, quindi non ci sono problemi di taglio e bordi.
Sì, mi viene sempre la stessa cosa, quindi non capisco dove stia sbagliando t.t
$ lim_(z->-3) (z+3)/(z^p(z+3)) -> 1/(-3)^p $
$ lim_(z->-3) (z+3)/(z^p(z+3)) -> 1/(-3)^p $
Eh, ma $(-3)^p$ non è reale, no?
Ah sì, certo è complesso! Ok l'ho riscritto come numero complesso e l'esercizio esce!
Che errore stupido e.e
Grazie mille!
Che errore stupido e.e
Grazie mille!