Integrale definito con residui

[maschinna]

Salve a tutti,
dovrei calcolare il seguente integrale con il metodo dei residui:
$ int_(0)^(+oo) e^(ix) /(x^2+1) dx $
Se l'integrale fosse esteso a tutto l'asse reale, non avrei nessun problema a svolgere l'esercizio, così come se al numeratore ci fosse il coseno (in quanto sfrutterei la parità della funzione integranda). In questo caso, però, non saprei quale cammino scegliere: ho provato ad integrare anche per parti, ma senza risultati.
Grazie!

[gugo82]

Prova a moltiplicare per un logaritmo e ad integrare su un circuito costruito da una piccola circonferenza di centro $0$ e dai due bordi del taglio del piano complesso fatto sul semiasse reale positivo (che serve ad individuare una determinazione monodroma del logaritmo).

[maschinna]

Ma in questo caso come farei a chiudere il circuito? Dovrei stare nel semipiano con parte immaginaria positiva affinché l'esponenziale non diverga.

Grazie

[gugo82]

Non mi pare che c'entri molto il comportamento dell'esponenziale, poiché il raggio della circonferenza lo mandi a $0$ alla fine...

Te l'ho detto, prova.

[maschinna]

Forse non ho capito come costruire il circuito, però. Perché non mi risulta chiuso

[feddy]

Sperando ti possa essere utile: click

[maschinna]

Grazie!
Quello che intendo è che il contributo sulla circonferenza grande non è nullo, per il fatto che l'esponenziale diverge nella parte di circonferenza sotto

[gugo82]

"Maschinna":Ma in questo caso come farei a chiudere il circuito? Dovrei stare nel semipiano con parte immaginaria positiva affinché l'esponenziale non diverga.

Grazie

Hai ragione... Si vede che non calcolo integrali coi residui da un po'.

Ci devo pensare.

[maschinna]

Grazie

[Studente Anonimo]

Poiché l'integrale che hai proposto, dovendo esprimersi mediante la seguente funzione speciale:

Exponential integral

$Ei(x)=-\int_{-x}^{+oo}e^(-t)/tdt$

è tutt'altro che banale:

Wolfram

$\int_{0}^{+oo}sinx/(x^2+1)dx=(Ei(1)-e^2Ei(-1))/(2e)~~0.646761$

sorge il dubbio che sia il frutto di una tua iniziativa personale. Ad ogni modo, premesso che:

$\int_{0}^{+oo}sinx/(x^2+1)dx=$

$=1/(2i)\int_{0}^{+oo}e^(ix)/(x^2+1)dx-1/(2i)\int_{0}^{+oo}e^(-ix)/(x^2+1)dx=$

$=-1/4\int_{0}^{+oo}e^(ix)/(x-i)dx+1/4\int_{0}^{+oo}e^(ix)/(x+i)dx+1/4\int_{0}^{+oo}e^(-ix)/(x-i)dx-1/4\int_{0}^{+oo}e^(-ix)/(x+i)dx$

si può procedere considerando le seguenti 4 funzioni ausiliarie e i loro rispettivi percorsi d'integrazione.

1. $f_1(z)=e^(iz)/(z-i)$

$\gamma_1$ percorsa in senso antiorario

$\int_{\gamma_1}e^(iz)/(z-i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(ix)/(x-i)dx-i\int_{0}^{1-r}e^(-t)/(it-i)dt-i\int_{1+r}^{R}e^(-t)/(it-i)dt+\int_{C_R}e^(iz)/(z-i)dz+\int_{C_r}e^(iz)/(z-i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(ix)/(x-i)dx-1/e\int_{0}^{1-r}e^(-(t-1))/(t-1)dt-1/e\int_{1+r}^{R}e^(-(t-1))/(t-1)dt+\int_{C_R}e^(iz)/(z-i)dz+\int_{C_r}e^(iz)/(z-i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(ix)/(x-i)dx-1/e\int_{-1}^{-r}e^(-y)/ydy-1/e\int_{r}^{R-1}e^(-y)/ydy+\int_{C_R}e^(iz)/(z-i)dz+\int_{C_r}e^(iz)/(z-i)dz=0$

Passando al limite per $[r rarr 0^+]$ e per $[R rarr +oo]$:

$\int_{0}^{+oo}e^(ix)/(x-i)dx-1/eVP\int_{-1}^{+oo}e^(-y)/ydy-(\pii)/e=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{+oo}e^(ix)/(x-i)dx=1/eVP\int_{-1}^{+oo}e^(-y)/ydy+(\pii)/e$

2. $f_2(z)=e^(iz)/(z+i)$

$\gamma_2$ percorsa in senso antiorario

$\int_{\gamma_2}e^(iz)/(z+i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(ix)/(x+i)dx-i\int_{0}^{R}e^(-t)/(it+i)dt+\int_{C_R}e^(iz)/(z+i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(ix)/(x+i)dx-e\int_{0}^{R}e^(-(t+1))/(t+1)dt+\int_{C_R}e^(iz)/(z+i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(ix)/(x+i)dx-e\int_{1}^{R+1}e^(-y)/ydy+\int_{C_R}e^(iz)/(z+i)dz=0$

Passando al limite per $[R rarr +oo]$:

$\int_{0}^{+oo}e^(ix)/(x+i)dx-e\int_{1}^{+oo}e^(-y)/ydy=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{+oo}e^(ix)/(x+i)dx=e\int_{1}^{+oo}e^(-y)/ydy$

3. $f_3(z)=e^(-iz)/(z-i)$

$\gamma_3$ percorsa in senso orario

$\int_{\gamma_3}e^(-iz)/(z-i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(-ix)/(x-i)dx+i\int_{-R}^{0}e^t/(it-i)dt+\int_{C_R}e^(-iz)/(z-i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(-ix)/(x-i)dx+i\int_{0}^{R}e^(-t)/(-it-i)dt+\int_{C_R}e^(-iz)/(z-i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(-ix)/(x-i)dx-e\int_{0}^{R}e^(-(t+1))/(t+1)dt+\int_{C_R}e^(-iz)/(z-i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(-ix)/(x-i)dx-e\int_{1}^{R+1}e^(-y)/ydy+\int_{C_R}e^(-iz)/(z-i)dz=0$

Passando al limite per $[R rarr +oo]$:

$\int_{0}^{+oo}e^(-ix)/(x-i)dx-e\int_{1}^{+oo}e^(-y)/ydy=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{+oo}e^(-ix)/(x-i)dx=e\int_{1}^{+oo}e^(-y)/ydy$

4. $f_4(z)=e^(-iz)/(z+i)$

$\gamma_4$ percorsa in senso orario

$\int_{\gamma_4}e^(-iz)/(z+i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(-ix)/(x+i)dx+i\int_{-R}^{-1-r}e^(t)/(it+i)dt+i\int_{-1+r}^{0}e^(t)/(it+i)dt+\int_{C_R}e^(-iz)/(z+i)dz+\int_{C_r}e^(-iz)/(z+i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(-ix)/(x+i)dx+i\int_{1+r}^{R}e^(-t)/(-it+i)dt+i\int_{0}^{1-r}e^(-t)/(-it+i)dt+\int_{C_R}e^(-iz)/(z+i)dz+\int_{C_r}e^(-iz)/(z+i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(-ix)/(x+i)dx-1/e\int_{1+r}^{R}e^(-(t-1))/(t-1)dt-1/e\int_{0}^{1-r}e^(-(t-1))/(t-1)dt+\int_{C_R}e^(-iz)/(z+i)dz+\int_{C_r}e^(-iz)/(z+i)dz=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{R}e^(-ix)/(x+i)dx-1/e\int_{r}^{R-1}e^(-y)/ydy-1/e\int_{-1}^{-r}e^(-y)/ydy+\int_{C_R}e^(-iz)/(z+i)dz+\int_{C_r}e^(-iz)/(z+i)dz=0$

Passando al limite per $[r rarr 0^+]$ e per $[R rarr +oo]$:

$\int_{0}^{+oo}e^(-ix)/(x+i)dx-1/eVP\int_{-1}^{+oo}e^(-y)/ydy+(\pii)/e=0 rarr$

$rarr \int_{0}^{+oo}e^(-ix)/(x+i)dx=1/eVP\int_{-1}^{+oo}e^(-y)/ydy-(\pii)/e$

In definitiva:

$\int_{0}^{+oo}sinx/(x^2+1)dx=$

$=-1/4\int_{0}^{+oo}e^(ix)/(x-i)dx+1/4\int_{0}^{+oo}e^(ix)/(x+i)dx+1/4\int_{0}^{+oo}e^(-ix)/(x-i)dx-1/4\int_{0}^{+oo}e^(-ix)/(x+i)dx=$

$=-1/(4e)VP\int_{-1}^{+oo}e^(-y)/ydy-(\pii)/(4e)+e/4\int_{1}^{+oo}e^(-y)/ydy+e/4\int_{1}^{+oo}e^(-y)/ydy-1/(4e)VP\int_{-1}^{+oo}e^(-y)/ydy+(\pii)/(4e)=$

$=-1/(2e)VP\int_{-1}^{+oo}e^(-y)/ydy+e/2\int_{1}^{+oo}e^(-y)/ydy=$

$=(Ei(1)-e^2Ei(-1))/(2e)$

[maschinna]

Grazie!