Integrale con residui e logaritmi

[Ianya]

Buongiorno
Devo calcolare
$int_{0}^{+infty} logx/((x-1)^3+x-1) dx$
(logaritmo naturale)
ma penso di sbagliare qualcosa.
L'integrale è assolutamente convergente perché $x=1$ è una discontinuità eliminabile, il logaritmo si controlla con una potenza di x e la funzione integranda è infinitesima di ordine 3 per x che tende a $+infty$
Ho considerato la funzione ausiliaria $(log z)^2/((z-1)^3+z-1) dz$
ed il cammino di integrazione
https://ibb.co/9r2KZc2
"saltando" $z=1$ dal bordo inferiore del taglio in quanto è una singolarità eliminabile quando $arg 1 = 0$ ed un polo semplice quando $arg 1 = 2pi$. Gli altri poli semplici sono $z = 1+- i$
Per il primo teorema dei residui, l'integrale esteso alla frontiera del dominio considerato è uguale a
$int_{+delD} f(z) dz =2pi i (R[1+i] + R[1-i]) $.
Tale integrale è uguale a
$int_{Γ_r} f(z) dz + int_{r} ^{1+ε} (logx +2pi i) ^2 /((x-1)^3 +x-1) dx + int_{-γ'_ε} f(z) dz + int_{1-ε} ^{ε} (logx +2pi i) ^2 /((x-1)^3 +x-1) dx + int_{-γ_ε} f(z) dz + int_{ε} ^{r} (logx) ^2 /((x-1)^3 +x-1) dx $
Per il grande cerchio e per il piccolo cerchio il primo ed il terzo integrale sono 0, il secondo è $ - pi i R[1]$
Penso di aver sbagliato qualcosa perché dagli integrali rimasti arrivo a
$int_{1-ε} ^{1+ε} (logx +2pi i) ^2 /((x-1)^3 +x-1) dx - int_{ε} ^{r} (logx +2pi i) ^2 /((x-1)^3 +x-1) dx + int_{ε} ^{r} (logx) ^2 /((x-1)^3 +x-1) dx = $
$ = int_{1-ε} ^{1+ε} (logx +2pi i) ^2 /((x-1)^3 +x-1) dx - 4 pi i int_{ε} ^{r} (logx) /((x-1)^3 +x-1) dx + 4 pi^2 int_{ε} ^{r} 1 /((x-1)^3 +x-1) dx $
L'integrale che a me "interessa" quando r tende a $+infty$ ed ε a $0^+$ è quello con coefficiente $-4 pi i$, quindi dovrei considerare la parte immaginaria di entrambi i membri nell'equazione ottenuta dal teorema dei residui ma penso che il primo e l'ultimo integrale scritti nell'ultimo passaggio siano errati
Potreste aiutarmi?
Grazie in anticipo

[ondine1]

La funzione ausiliaria che hai scelto va bene. Se svolgi i calcoli l'integrale effettutato sulla linea chiusa che hai scelto ti si semplifica in:
$-4piiint_(0)^(+oo) lnx/((x-1)^3+(x-1))dx+4pi^2 int_(0)^(+oo)1/((x-1)^3+(x-1))dx= 2piisum(Res)$
ovvero, indicando con "I" l'integrale di cui vogliamo calcolare il valore, si ha che:
$I=-1/2 Re{sum(Res)}$
La somma dei residui è:
$sum(Res)= 1/2 Res(1,theta=0)+Res(1+i)+Res(1-i)+1/2Res(1, theta=2pi)$
Calcoliamoli uno alla volta.
$1/2Res(1,theta=0)=0$
Per il secondo addendo, se $z=1+i$ vuol dire che può essere scritta come $z=sqrt(2)e^(ipi/4)$
$Res(1+i)=(ln(sqrt2)+(ipi/4))^2/((i)(2i))= -1/2 [(ln^2(sqrt(2))-(pi^(2))/16]-i(pi/4ln(sqrt2))$
Per il terzo addendo, se $z=1-i$ vuol dire che può essere scritta come $z=sqrt(2)e^(i(7pi)/4)$
$Res(1-i)=(ln(sqrt2)+(i(7pi)/4))^2/((-i)(-2i))= -1/2 [(ln^2(sqrt(2))-(49pi^(2))/16]-i((7pi)/4ln(sqrt2))$
$1/2Res(1, theta=2pi)=1/2(ln(1)+2pii)^2/((-i)(+i))= -1/2 (4pi^2)= -2pi^2$
Quindi in definitiva:
$I=-1/2 [-1/2 ln^2(sqrt(2))+pi^2/32-1/2 ln^2(sqrt(2))+(49pi^2)/32-2pi^2]$
$I=7/32pi^2+1/8ln^2(2) $
E tra l'altro abbiamo come "bonus" anche il valore dell'altro integrale iniziale.
Indicato con $A:= P.V. int_(0)^(+oo)1/((x-1)^3+(x-1))dx$
Si ha la relazione $4pi^2A= 2pi i (i) Im{sum(Res)}$
$A= -1/(2pi) [-7/4piln(sqrt(2))-pi/4ln(sqrt(2))]$
$A= ln(sqrt2)= 1/2 ln(2)$