Integrale con metodo dei residui

[seth9797]

Salve forum ,
ho riscontrato un problema con la risoluzione di questo integrale, si chiede di risolverlo con il metodo dei residui
ho sostituito l'integrale da $dt$ a $dz$ , tuttavia mi trovo bloccato e non riesco a proseguire
chiedo aiuto a voi

$ int_(-oo)^(oo) (sent)/(t^6+t) dt $

[gugo82]

Infatti non si svolge così.

Tenendo presente che $sin t = "Im"(e^(iz))|_(z=t in RR)$, ossia che il seno è la restrizione all'asse reale di un esponenziale complesso, e che $t^6 + t = z^6 + z |_(z = t in RR)$, cioè che il polinomio al denominatore è la restrizione all'asse reale di un polinomio complesso, hai:

$int_(-oo)^(+oo) (sin t)/(t^6 + t)" d" t = "Im"(int_(-oo)^(+oo) (e^(iz))/(z^6 + z)" d" z)$,

quindi ti basta "inventare" un modo per calcolare l'integrale al secondo membro.
Il modo canonico per il calcolo è tenere presente che:

$int_(-oo)^(+oo) (e^(iz))/(z^6 + z)" d" z = lim_(R -> +oo) int_(-R)^R (e^(iz))/(z^6 + z)" d" z$

e che l'integrale sul segmento $[-R,R]$ dell'asse reale può essere chiuso con una semicirconferenza di centro $0$ e raggio $R$.

[seth9797]

buonasera gugo grazie per la risposta

applicando il metodo dei residui dopo aver trovato le singolarità ho riscontrato difficoltà nel calcolo dei residui seguenti:

$ z_1=0 , Res(f,z_1)=1 $

$ z_2=1 , Res(f,z_2)=?????$

$ z_3=e^((2/5)pii) , Res(f,z_3)=???? $

$ z_4=e^((4/5)pii) , Res(f,z_4)=????? $

$ z_5=e^((6/5) pii) $

$ z_6=e^((8/5)pii $

per $z_5 $ e $z_6$ essendo al di fuori del dominio non bisogna calcolare il residuo

posso chiederti una mano sui residui che non sono riuscito a calcolare?

[Stickelberger]

L'integrale $\int_{-\infty}^{+\infty} {sen(t)}/{t^6+t}dt$ non converge. C'e' un problema in $t=-1$.