Integrale con log

[Maxandri1]

Devo risolvere questo integrale (1)
\[\int_{0}^{\infty }\frac{logx^3}{8+x^3}\]
Per risolverlo parto da
(2) \[\int_{0}^{\infty }\frac{log^2z^3}{8+x^3}\]
e, considerando che\[logz=logx+2\pi i\] ottengo \[-36 \pi(\int_{0}^{\infty }\frac{-\pi+ilog(x)}{8+x^3}dx)\]
A questo punto risolvo con i residui \[ \int_{0}^{\infty }\frac{1}{8+x^3} \] e se non sbaglio, applicando Jordan ottengo
\[\frac{\pi^2}{6}+\pi \frac{\sqrt{3}-1}{12}\]
In teoria ora, sostituendo questo risultato con l’equazione prima trovata e eguagliandola al risultato di (2) dovrei trovare (1), ma se cerco i residui di (2) mi viene furi qualcosa di cui dubito la correttezza e che comunque non so come trattare dato che mi resta uno strano log8
\[\frac{\pi}{12}(log(2e^{i\pi/3})^3)^2+\frac{(log2e^{3i\pi})^2i\pi}{6}+\frac{\pi}{12}(log(2e^{5/3i\pi})^3)^2(-i-\sqrt{3})\]
E qui mi fermo. In un esercizio analogo vedo però che il prof a questo punto usa \[log^{2}z=(logx+i\pi)^2=lg^2x+2\pi ilogx-\pi^2\] che proprio non capisco!
Grazie

[anonymous_0b37e9]

Premesso che:

$\int_{0}^{+oo}logx^3/(x^3+8)dx=3\int_{0}^{+oo}logx/(x^3+8)dx$

puoi procedere, come hai giustamente osservato, mediante la seguente funzione ausiliaria:

$f(z)=log^2z/(z^3+8)$

integrando lungo il percorso sottostante:

e ricordando che:

Taglio superiore

$logz=logx$

Taglio inferiore

$logz=logx+2\pii$

Infatti:

$\int_{r}^{R}log^2x/(x^3+8)dx+\int_{\Gamma_R}f(z)dz-\int_{r}^{R}(logx+2\pii)^2/(x^3+8)dx+\int_{\Gamma_r}f(z)dz=$

$=2\pii[Res(1+isqrt3)+Res(-2)+Res(1-isqrt3)] rarr$

$rarr -4\pii\int_{r}^{R}logx/(x^3+8)dx+4\pi^2\int_{r}^{R}1/(x^3+8)dx+\int_{\Gamma_R}f(z)dz+\int_{\Gamma_r}f(z)dz=$

$=2\pii[Res(1+isqrt3)+Res(-2)+Res(1-isqrt3)]$

Infine, passando al limite e applicando i lemmi del piccolo e del grande cerchio:

$-4\pii\int_{0}^{+oo}logx/(x^3+8)dx+4\pi^2\int_{0}^{+oo}1/(x^3+8)dx=2\pii[Res(1+isqrt3)+Res(-2)+Res(1-isqrt3)] rarr$

$rarr \int_{0}^{+oo}logx/(x^3+8)dx=-\pii\int_{0}^{+oo}1/(x^3+8)dx-1/2[Res(1+isqrt3)+Res(-2)+Res(1-isqrt3)]$

Tra l'altro, poiché il risultato deve essere necessariamente reale, puoi evitare il calcolo dell'integrale generalizzato a secondo membro e limitarti a calcolare le sole parti reali dei tre residui. In definitiva:

$Res(1+isqrt3)=1/24(\pi^2/9-log^2 2+(2\pisqrt3log2)/3)+...$

$Res(-2)=1/12(log^2 2-\pi^2)+...$

$Res(1-isqrt3)=1/24(25/9\pi^2-log^2 2-(10\pisqrt3log2)/3)+...$

$\int_{0}^{+oo}logx/(x^3+8)dx=(\pisqrt3log2)/18-\pi^2/54$

Wolfram

[Maxandri1]

Grazie. In questo ultimo passaggio credo che mi perdo qualcosa nel calcolo dei residui.
Ne prendo uno. Per esempio
\[Lim(\frac{log^2(2)e^{\frac{\pi}{3}}}{(-2-1-i\sqrt{3})(-2-1+i\sqrt{3})})\]
e così anche nel residuo a -2 ottengo log2/12. Perdo qualcosa!

L'integrale con il numero immaginario davanti tu lo elimini. Ma se lo sviluppo mi viene fuori un valore che ho scritto prima \[\frac{\pi^2}{6}\]ecc... Ma quindi tutto ciò che è immaginario lo elimino direttamente?


Poi, il valore in logaritmo è sempre considerato in valore assoluto (log(-2)=log(2))?
Grazie

[anonymous_0b37e9]

Premesso che:

$logz=log|z|+i*arg(z)$

per quanto riguarda il residuo in $-2$:

$Res(-2)=lim_(z->-2)(z+2)log^2z/((z+2)(z^2-2z+4))=lim_(z->-2)log^2z/(z^2-2z+4)=$

$=log^2(-2)/12=(log2+i\pi)^2/12=1/12(log^2 2-\pi^2)+...$

avendo tralasciato la parte immaginaria perché non contribuisce all'integrale. Inoltre:

$Res(1+isqrt3)=lim_(z->1+isqrt3)(z-1-isqrt3)log^2z/((z+2)(z-1-isqrt3)(z-1+isqrt3))=$

$=lim_(z->1+isqrt3)log^2z/((z+2)(z-1+isqrt3))=log^2(1+isqrt3)/(2isqrt3(3+isqrt3))=(log2+i\pi/3)^2/(2isqrt3(3+isqrt3))=...$

$Res(1-isqrt3)=lim_(z->1-isqrt3)(z-1+isqrt3)log^2z/((z+2)(z-1-isqrt3)(z-1+isqrt3))=$

$=lim_(z->1-isqrt3)log^2z/((z+2)(z-1-isqrt3))=log^2(1-isqrt3)/(-2isqrt3(3-isqrt3))=(log2+i5/3\pi)^2/(-2isqrt3(3-isqrt3))=...$

Non ti rimane che completare i conti tralasciando la parte immaginaria.

[Maxandri1]

ok allora, provo a continuare, eliminando la parte immaginaria
per -2, OK, \[\frac{log2-\pi^2}{12}\]
per l'altro punto \[\frac{(log^22-\frac{\pi}{9}+2ilog2\frac{\pi}{3})(-1-i\sqrt{3})}{6(1+3)}=-\frac{log^22}{24}+\frac{\pi}{9*24}+2\pi log2\frac{\sqrt{3}}{3}\]
poi \[\frac{(log^22-\frac{25\pi^2+}{9}+\pi^2+2i\frac{5}{3}\pi log2)(1-i\sqrt{3})}{6(1+3)}=-\frac{log^22}{24}-\frac{25\pi^2}{9*24}+10\pi log2\frac{\sqrt{3}}{3*24}\]
Prendendo l'equazione iniziale (moltiplico per 3 perchè avevo il valore elevato alla terza all'inizio), metto assieme tutto e semplificando trovo
\[\frac{3}{2}(\frac{2log^22}{24}-\frac{\pi^2}{12}+2\pi log2\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\pi^2}{9}+\frac{10\sqrt{3}\pi log2}{24*3})\]
Giusto? Però continuando con denominatore comune ecc... non trovo il risultato corretto...

[anonymous_0b37e9]

Hai commesso degli errori nel calcolo dei residui:

$Res(-2)=$

$=1/12(log^2 2-\pi^2)+...$

$Res(1+isqrt3)=$

$=(log2+i\pi/3)^2/(2isqrt3(3+isqrt3))=$

$=(log^2 2-\pi^2/9+i2/3\pilog2)/(6(-1+isqrt3))=$

$=1/24(log^2 2-\pi^2/9+i2/3\pilog2)(-1-isqrt3)=$

$=1/24(\pi^2/9-log^2 2+(2\pisqrt3log2)/3)+...$

$Res(1-isqrt3)=$

$=(log2+i5/3\pi)^2/(-2isqrt3(3-isqrt3))=$

$=(log^2 2-25/9\pi^2+i10/3\pilog2)/(6(-1-isqrt3))=$

$=1/24(log^2 2-25/9\pi^2+i10/3\pilog2)(-1+isqrt3)=$

$=1/24(25/9\pi^2-log^2 2-(10\pisqrt3log2)/3)+...$

$\int_{0}^{+oo}logx/(x^3+8)dx=$

$=-1/2[1/24(\pi^2/9-log^2 2+(2\pisqrt3log2)/3+25/9\pi^2-log^2 2-(10\pisqrt3log2)/3)+1/12(log^2 2-\pi^2)]=$

$=-1/2[1/24(\pi^2/9+(2\pisqrt3log2)/3+25/9\pi^2-(10\pisqrt3log2)/3)-1/12\pi^2]=$

$=(\pisqrt3log2)/18-\pi^2/54$