Integrale complesso

[whaks]

Buonasera a tutti,
oggi ho svolto un esercizio di Analisi Complessa,ho fatto entrambi i punti ma non sono convinto di aver fatto tutto giusto così ho deciso di scrivere tutto qua e magari trovare l'aiuto di qualcheduno più esperto! Sperando possa essermi utile e possa esserlo per altri in futuro! Ecco quello che ho fatto:

Questo il Testo

Per ogni $ (alpha, beta)\in RR^2 $ sia $ f_(alpha,beta): CC rarr CC $ la funzione definita da $f_(alpha,beta)(x+iy)=2x^2+alphay^2-3x+1y(4x+beta) $ per ogni $(x,y)\in RR^2 $

1) Stabilire per quali $(alpha, beta) \in RR^2 $ la funzione $ f_(alpha,beta) $ è olomorfa in $CC$.
2) Sia $gamma$ la circonferenza positivamente orientata di centro 0 e raggio $2/3$; per ciascuno dei valori di $ (alpha, beta) $ di cui al punto 1 stabilire per quali $z_0 \in CC — partialS_CC(0,2/3) $ si ha che:

$ int_(\gamma)\frac{f_(alpha,beta)(z)}{z-z_0}dz=-2pii. $

Il punto 1 lo ho risolto imponendo le condizioni di Cauchy-Riemann:
$ \frac{partialf_(alpha,beta)}{partialx} + i\frac{partialf_(alpha,beta)}{partialy} = 4x-3 +4iy+2alphaiy-4x-beta=0 $ da cui mi viene la sola coppia $ (alpha, beta) = (-2, -3) $

Dunque la funzione diventa: $ f(x+iy)=2x^2-2y^2-3x+4ixy-3iy. $

Per il punto due io procederei così:

Applicando la Formula di Cauchy:

Data una funzione $f$ olomorfa in un aperto $\Omega$ di $CC$ ed un cammino $\gamma$ orientato positivamente abbiamo che:

$\frac{1}{2pii}int_(\gamma)\frac{f(z)}{z-z_0}dz=\{(f(z_0) se z_0 \in "int"\gamma),(0 se z_0 \in "ext" \gamma):}$

Immagino che a questo punto basti trovare degli $z_0$ dentro il cerchio tali che $f(z_0)=-1$.

Allora considero $ z_0=x_0+iy_0 $ e imponendo $f(z_0)=-1 $ dovrei ottenere questo sistema:

$ { ( 2x_0^2-2y_0^2-3x_0=-1 ),( y_0(4x_0-3)=0 ):} $

E facendo i conti ottengo queste quattro soluzioni: $(1,0), (1/2,0) (3/4, i/4) e (3/4,-i/4). $

Ora facendo una analisi: considerando che le coppie debbano stare in $RR^2$ devo scartare gli ultimi due risultati, inoltre considerando che per la formula di Cauchy l'indice della curva vale $Ind_gamma =0 $ per i punti esterni alla sfera $ S_CC(0,2/3)$ , il primo risultato va altresi scartato.
Pensavo quindi di concludere che l'unico $z_0$ trovato compatibile si a proprio il secondo risultato, quindi, $z_0=1/2$ ma sono molto poco convinto di tutto ciò.

Spero di essere stato chiaro su tutto e che qualcuno commenti in qualche modo l'operato
grazie

[gugo82]

Sembra tutto giusto (concettualmente, i conti non li ho controllati).