Integrale calcolabile con la teoria dei residui
salve a tutti , dovrei risolvere quest'integrale:
$ int_(0)^(+infty) (x^2 +x) / (x^4 -16x^2 +100)dx $
avevo pensato di ricorrere alla tecnica (applicabile alle funzioni pari) secondo cui quest'integrale sia la metà del corrispondente calcolato tra $-infty$ e $infty$
Non è una funzione pari. Come potrei procedere?
$ int_(0)^(+infty) (x^2 +x) / (x^4 -16x^2 +100)dx $
avevo pensato di ricorrere alla tecnica (applicabile alle funzioni pari) secondo cui quest'integrale sia la metà del corrispondente calcolato tra $-infty$ e $infty$
Non è una funzione pari. Come potrei procedere?
Risposte
Ciao kekkok,
Beh, non è che puoi sempre contare sulla parità della funzione integranda...
L'integrale proposto è del tipo $I = \int_0^{+\infty} R(x) \text{d}x $ ove nel caso in esame $R(x) = (x^2 +x) / (x^4 -16x^2 +100) $
Si tratta dell'integrale di una funzione razionale, che certamente esiste in quanto la funzione razionale $R(x) $ tende a zero per $x \to 0 $, si comporta come $1/x^2 $ per $x \to +\infty $ ed è priva di singolarità sul semiasse reale positivo, che si può risolvere facendo uso della formula generale seguente:
$I = - \sum \text{Res}[R(z) ln z] $
ove la sommatoria è estesa a tutti i poli della funzione razionale $R(z) $ che nel caso in esame coincidono con le 4 soluzioni complesse coniugate dell'equazione $z^4 - 16z^2 +100 = 0 $
La formula citata a sua volta si può ricavare a partire da una formula analoga a quella che compare in questo post:
$ I(\alpha) = \int_0^{+\infty} R(x) x^{\alpha} \text{d}x = (2\pi i)/[1 - e^{2\pi \alpha i}] \sum \text{Res} [R(z) z^{\alpha}] = - \frac{\pi e^{-i\pi \alpha}}{sin(\pi \alpha)} \sum \text{Res} [R(z) z^{\alpha}] $
Tenendo conto che $x^{\alpha} = e^{\alpha ln x} $, $ I(\alpha) $ si può sviluppare in serie di potenze di $\alpha $:
$I(\alpha) = \sum_{n = 0}^{+\infty} \alpha^n/(n!) \int_0^{+\infty} R(x) [ln(x)]^n \text{d}x $
Paragonando i coefficienti delle varie potenze di $\alpha $, per $n = 0 $ si ottiene proprio la formula generale citata inizialmente.
Beh, non è che puoi sempre contare sulla parità della funzione integranda...
L'integrale proposto è del tipo $I = \int_0^{+\infty} R(x) \text{d}x $ ove nel caso in esame $R(x) = (x^2 +x) / (x^4 -16x^2 +100) $
Si tratta dell'integrale di una funzione razionale, che certamente esiste in quanto la funzione razionale $R(x) $ tende a zero per $x \to 0 $, si comporta come $1/x^2 $ per $x \to +\infty $ ed è priva di singolarità sul semiasse reale positivo, che si può risolvere facendo uso della formula generale seguente:
$I = - \sum \text{Res}[R(z) ln z] $
ove la sommatoria è estesa a tutti i poli della funzione razionale $R(z) $ che nel caso in esame coincidono con le 4 soluzioni complesse coniugate dell'equazione $z^4 - 16z^2 +100 = 0 $
La formula citata a sua volta si può ricavare a partire da una formula analoga a quella che compare in questo post:
$ I(\alpha) = \int_0^{+\infty} R(x) x^{\alpha} \text{d}x = (2\pi i)/[1 - e^{2\pi \alpha i}] \sum \text{Res} [R(z) z^{\alpha}] = - \frac{\pi e^{-i\pi \alpha}}{sin(\pi \alpha)} \sum \text{Res} [R(z) z^{\alpha}] $
Tenendo conto che $x^{\alpha} = e^{\alpha ln x} $, $ I(\alpha) $ si può sviluppare in serie di potenze di $\alpha $:
$I(\alpha) = \sum_{n = 0}^{+\infty} \alpha^n/(n!) \int_0^{+\infty} R(x) [ln(x)]^n \text{d}x $
Paragonando i coefficienti delle varie potenze di $\alpha $, per $n = 0 $ si ottiene proprio la formula generale citata inizialmente.
Grazie infinite pilloeffe 
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