Integrale analisi complessa
Salve, avrei bisogno di una mano col seguente esercizio:
"Mediante le tecniche dell’analisi complessa, dimostrare che $\int_-oo^(+oo)sin(2t)/(t^4+4)dt = 0$ "
La mia idea era stata quella di scrivere $sin(2t) = Im (e^(i2t))$ per ricondurmi al Lemma di Jordan, ottenendo $Im \int_-oo^(+oo)e^(2it)/((t-1-i)(t+1-i)(t+1+i)(t-1+i))dt = 0$
Avrei $a=2$, quindi dei poli in $+-1+-i$ calcolerei i residui soltanto in $+-1+i$, solo che ho qualche difficoltà nel portare a termine l'esercizio; l'idea di fondo è corretta o ci sono strade migliori da percorrere?
Grazie
"Mediante le tecniche dell’analisi complessa, dimostrare che $\int_-oo^(+oo)sin(2t)/(t^4+4)dt = 0$ "
La mia idea era stata quella di scrivere $sin(2t) = Im (e^(i2t))$ per ricondurmi al Lemma di Jordan, ottenendo $Im \int_-oo^(+oo)e^(2it)/((t-1-i)(t+1-i)(t+1+i)(t-1+i))dt = 0$
Avrei $a=2$, quindi dei poli in $+-1+-i$ calcolerei i residui soltanto in $+-1+i$, solo che ho qualche difficoltà nel portare a termine l'esercizio; l'idea di fondo è corretta o ci sono strade migliori da percorrere?
Grazie
Risposte
Beh vabbé qua non ci sarebbe davvero bisogno di usare l'analisi complessa visto che la funzione integranda è ovviamente dispari
Eh sì ma è proprio il testo dell'esercizio a chiederlo. A parte questo, credi sia giusto il procedimento o c'è di meglio?
Cosa intendi con $a=2$ ? Comunque sì, devi calcolarti i residui dei poli nel semipiano superiore di $\mathbff{C}$, in questo caso sono $\pm 1 + \mathbb{i}$, e sono pure poli semplici.
Ah pardon ho dimenticato di allegare il teorema utilizzato:
Comunque sostanzialmente sta a dire che devo calcolare quelli nel semipiano superiore, come hai detto tu.
A questo punto, $ Res_f(z) (1+i) =( n(z))/(d'(z))$, in $z=1+i$, $=e^(2i(1+i))/(4(1+i)^3) = e^(2i-2)/(8i-8) = (-1/16 -1/16 i)e^(2i-2)$
e, allo stesso modo, $ Res_f(z) (-1+i) = e^(-2i-2)/(8i+8) = (1/16 -1/16 i)e^(-2i-2)$.
Calcolato ciò, se non erro avrei che
$ \int_-oo^(+oo)sin(2t)/(t^4+4)dt = Im [2pii (Res_f(z) (1+i) + Res_f(z) (-1+i))]$, e ora sono in difficoltà nel portare a termine quest'ultimo passaggio.
Comunque sostanzialmente sta a dire che devo calcolare quelli nel semipiano superiore, come hai detto tu.
A questo punto, $ Res_f(z) (1+i) =( n(z))/(d'(z))$, in $z=1+i$, $=e^(2i(1+i))/(4(1+i)^3) = e^(2i-2)/(8i-8) = (-1/16 -1/16 i)e^(2i-2)$
e, allo stesso modo, $ Res_f(z) (-1+i) = e^(-2i-2)/(8i+8) = (1/16 -1/16 i)e^(-2i-2)$.
Calcolato ciò, se non erro avrei che
$ \int_-oo^(+oo)sin(2t)/(t^4+4)dt = Im [2pii (Res_f(z) (1+i) + Res_f(z) (-1+i))]$, e ora sono in difficoltà nel portare a termine quest'ultimo passaggio.
Non ho controllato i conti, ma il procedimento mi pare corretto.
A questo punto hai praticamente finito. Devi solo prendere la parte immaginaria,
A questo punto hai praticamente finito. Devi solo prendere la parte immaginaria,
Mmh sì il problema è proprio quello... ti spiacerebbe scrivere un paio di passaggi?
$... = Im [ (-pi/8 i + pi/8) e^(2i-2) + (pi/8 i + pi/8) e^(-2i-2)] = ... $
EDIT: Asp ci provo
$... = Im [ (-pi/8 i + pi/8) e^(2i-2) + (pi/8 i + pi/8) e^(-2i-2)] = ... $
EDIT: Asp ci provo
$ ... = Im [ (-pi/8 i + pi/8) e^(2i-2) + (pi/8 i + pi/8) e^(-2i-2)] = $
$= Im [ (-pi/8 i + pi/8)e^-2 e^(2i )+ (pi/8 i + pi/8) e^-2 e^(-2i)] =$
$= e^-2 Im [ (-pi/8 i + pi/8) (cos(2) + i sin(2)) + (pi/8 i + pi/8) (cos(-2) + i sin(-2))] =$
$= e^-2 Im [ (-pi/8 i cos(2) + pi/8 cos(2) + pi/8 sin(2) + i pi/8 sin(2) ) + + ( pi/8 i cos(-2) + pi/8 cos(-2) - pi/8 sin(-2) + pi/8 i sin(-2)) ] =$
$=e^-2 [-pi/8 cos(2)+ pi/8 sin(2)+ pi/8 cos(-2)+ pi/8 sin(-2)]$
Dato $cos(x) = cos(-x)$ e $sin(x)=-sin(-x)$ i termini $sin$ e $cos$ si elidono vicendevolmente, e il risultato complessivo è $0$.
Corretto?
$= Im [ (-pi/8 i + pi/8)e^-2 e^(2i )+ (pi/8 i + pi/8) e^-2 e^(-2i)] =$
$= e^-2 Im [ (-pi/8 i + pi/8) (cos(2) + i sin(2)) + (pi/8 i + pi/8) (cos(-2) + i sin(-2))] =$
$= e^-2 Im [ (-pi/8 i cos(2) + pi/8 cos(2) + pi/8 sin(2) + i pi/8 sin(2) ) + + ( pi/8 i cos(-2) + pi/8 cos(-2) - pi/8 sin(-2) + pi/8 i sin(-2)) ] =$
$=e^-2 [-pi/8 cos(2)+ pi/8 sin(2)+ pi/8 cos(-2)+ pi/8 sin(-2)]$
Dato $cos(x) = cos(-x)$ e $sin(x)=-sin(-x)$ i termini $sin$ e $cos$ si elidono vicendevolmente, e il risultato complessivo è $0$.
Corretto?
Deve risultare $0$ (come ha fatto notare dissonance è l'integrale su un dominio "simmetrico" di una funzione dispari), quindi direi proprio di sì 
@cerere: Conosco quegli appunti. Buttali e scegliti un buon testo di Analisi Complessa. 
È uno stamp preso da "Metodi matematici per l'ingegneria" di Codegone, che è il libro che seguiamo per il nostro corso, poi se sia un buon testo o meno non saprei 
Comunque approfitto per un'altra domanda simile senza aprire un nuovo thread:
$ \int_-oo^(+oo)sin^2(t)/(t^2+36)dt $
Ho pensato di procedere allo stesso modo ponendo $ sin(t) = Im (e^(it)) $, ma più che dire $ sin^2(t) = [Im (e^(it))]^2 $ temo di non poter fare, e quest'ultimo risultato non mi pare aiutarmi granché.
Mi sto perdendo qualcosa o questa via non è praticabile in questo esempio?
EDIT: Ho risolto, bastava usare la formula di bisezione del sin
Comunque approfitto per un'altra domanda simile senza aprire un nuovo thread:
$ \int_-oo^(+oo)sin^2(t)/(t^2+36)dt $
Ho pensato di procedere allo stesso modo ponendo $ sin(t) = Im (e^(it)) $, ma più che dire $ sin^2(t) = [Im (e^(it))]^2 $ temo di non poter fare, e quest'ultimo risultato non mi pare aiutarmi granché.
Mi sto perdendo qualcosa o questa via non è praticabile in questo esempio?
EDIT: Ho risolto, bastava usare la formula di bisezione del sin
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