Integrabilita' di Lebesgue

[ludovica.sarandrea]

Ho il seguente esercizio:
sia \[f(x)=\begin{cases}
\frac{sin(x)}{x} \quad se \quad x \neq 0 \\
1 \quad se \quad x=0
\end{cases}\]
Stabilire per quali $\alpha \geq 1$ $f^{\alpha}$ e' integrabile secondo Lebesgue.

So che sicuramente, se e' integrabile per Riemann, sara' integrabile anche per Lebesgue, quindi per $\alpha \geq 2$ avro' convergenza, devo solo studiare per $\alpha=1$ cosa succede.

In questo caso si puo' dimostrare che e' integrabile per Riemann anche in questo caso pero' se io volessi procedere senza passare per Riemann ci sarebbe un modo?

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

Non si legge niente

[Raptorista1]

[xdom="Raptorista"]@ludovica: ho aggiustato le formule. Fai attenzione la prossima volta.[/xdom]

[gabriella127]

Ciao Ludovica.

Quello del tuo esercizio è un integrale improprio, in caso di integrale improprio non è in generale vero che l'integrabilità secondo Riemann implica l'integrabilità secondo Lebesgue.

Vedo delle dispense in rete, dell'università di Pisa, dove è dimostrato (ben tre dimostrazioni) che $(senx)/x$ non è integrabile secondo Lebesgue.

http://people.dm.unipi.it/tarsia/didama ... intleb.pdf

Puoi anche vedere:
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_integral

Il rapporto tra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue è più complesso, mi pare, di quanto non sembri in un primo momento.