Insiemi misurabili non disgiunti
Buonasera
Ho dei problemi con questo esercizio
(TESTO CORRETTO)
Data una successione di insiemi misurabili tali che ogni punto appartenente alla loro unione appartenga al più a $k$ di essi, allora la somma delle misure è minore o uguale di $k$ volte la misura dell'unione.
Ho pensato di provare a scrivere la misura di ogni insieme come integrale della funzione caratteristica dell'insieme ma non so come proseguire
Potreste aiutarmi?
Grazie in anticipo
Ho dei problemi con questo esercizio
(TESTO CORRETTO)
Data una successione di insiemi misurabili tali che ogni punto appartenente alla loro unione appartenga al più a $k$ di essi, allora la somma delle misure è minore o uguale di $k$ volte la misura dell'unione.
Ho pensato di provare a scrivere la misura di ogni insieme come integrale della funzione caratteristica dell'insieme ma non so come proseguire
Potreste aiutarmi?
Grazie in anticipo
Risposte
Questa cosa non può essere vera perchè se la misura dell'unione non è infinita e la somma delle misure non è $0$, se vale per un certo $k$ questa proprietà, vale anche per quelli maggiori, quindi non può valere una disuguaglianza del genere per ogni $k$ per cui vale la proprietà. Prova a ricontrollare il testo magari perchè ha veramente poco senso così.
Ho interpretato male il testo, bisogna dimostrare che la somma delle misure sia minore o uguale a k volte la misura dell'unione
Un controesempio del tuo primo testo: sia \(\{a_i\}_{i\ge 0}\) una successione strettamente crescente tali che \(a_0 = 0\) e \(a_i \rightarrow 1\). A questo punto considera gli insiemi \(I_i = [a_i, a_{i+1}]\). Si ha che \(I_i\uparrow [0, 1)\). È piuttosto evidente che \(\sum_i \mu(I_i) = \lim_{i\to\infty} a_i = 1\) e che \(\mu([0,1)) = 1\). Ogni punto è in comune ad al più \(2\) elementi di \(\{I_i\}\).
Comunque, non vedo queste cose da un po', ma intuitivamente \(\sum_i \mu(U_i) = \sum_{j= 1}^{k} j \mu(\tilde{U}_j) \le k \mu( \tilde{U}_1 \cup \dotsb \cup \tilde{U}_k ) = k\mu( \bigcup_i U_i )\) dove \(\tilde{U}_j\) è l'insieme degli elementi in comune ad esattamente \(j\) elementi. Ma andrebbe dimostrato che sono insiemi misurabili e la loro definizione non è proprio immediata.
Comunque, non vedo queste cose da un po', ma intuitivamente \(\sum_i \mu(U_i) = \sum_{j= 1}^{k} j \mu(\tilde{U}_j) \le k \mu( \tilde{U}_1 \cup \dotsb \cup \tilde{U}_k ) = k\mu( \bigcup_i U_i )\) dove \(\tilde{U}_j\) è l'insieme degli elementi in comune ad esattamente \(j\) elementi. Ma andrebbe dimostrato che sono insiemi misurabili e la loro definizione non è proprio immediata.
"Ianya":
Ho interpretato male il testo, bisogna dimostrare che la somma delle misure sia minore o uguale a k volte la misura dell'unione
Mi riferisco al testo dell'esercizio corretto.
Per $k=1$ abbiamo l'uguaglianza, poiché siamo nel caso di insiemi disgiunti e vale l'additività numerabile.
Si può quindi dimostrare per $k>1$ per induzione? Mi pare di sì, ma posso sbagliarmi, perché ci ho pensato solo in mente, ora non posso provare a scriverlo perché sono impegnata.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo