Insiemi complessi
Ciao a tutti, ho un dubbio sui seguenti esercizi. La consegna è di indicare se i seguenti insiemi sono aperti o chiusi e dire qual è la frontiera.
1) $\gamma={z in CC : |z=1/n+j/n^2|, n in NN , n>0}$
2) $\gamma={z in CC : z!=3-j}$
Ho capito che il primo insieme non è aperto, però non capisco perchè non è chiuso e perchè la frontiera è gamma U {0}.
Mentre nel secondo ho capito che gamma è un insieme aperto, ma perchè la frontiera è {3-j}? Il punto 3-j non dovrebbe appartenere a gamma, come fa ad essere la sua frontiera??
Grazie in anticipo!
1) $\gamma={z in CC : |z=1/n+j/n^2|, n in NN , n>0}$
2) $\gamma={z in CC : z!=3-j}$
Ho capito che il primo insieme non è aperto, però non capisco perchè non è chiuso e perchè la frontiera è gamma U {0}.
Mentre nel secondo ho capito che gamma è un insieme aperto, ma perchè la frontiera è {3-j}? Il punto 3-j non dovrebbe appartenere a gamma, come fa ad essere la sua frontiera??
Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao, non mi è chiara la definizione del primo insieme: cosa è il modulo di un'uguaglianza?
Non è che è
\[ \gamma = \biggl \{ z \in \mathbb{C} : z= \frac{1}{n} + \frac{j}{n^2}, n \in \mathbb{N}, n>0 \biggr \} \]
dove $j$ è l'unità immaginaria?
E non mi sono neanche molto chiari i dubbi sul 2).
Ovvero: sicuramente in questo caso $\gamma \subset \mathbb{C}$ è giustamente aperto come dici (perché lo è?). La sua chiusura $\overline{\gamma}$ è tutto $\mathbb{C}$. Quindi
\[ \partial \gamma = \overline{\gamma} \setminus Int(\gamma) = \mathbb{C} - \gamma = \{ 3-j\} \]
In generale la frontiera di un insieme non è contenuta nell'insieme (anzi lo è se e solo se tale insieme è chiuso). Per esempio la frontiera di $A=[0,4)$ è l'insieme $\partial A = \{0,4\}$ e nota che $4 \in \partial A$ ma $4 \notin A$.
Non è che è
\[ \gamma = \biggl \{ z \in \mathbb{C} : z= \frac{1}{n} + \frac{j}{n^2}, n \in \mathbb{N}, n>0 \biggr \} \]
dove $j$ è l'unità immaginaria?
E non mi sono neanche molto chiari i dubbi sul 2).
Ovvero: sicuramente in questo caso $\gamma \subset \mathbb{C}$ è giustamente aperto come dici (perché lo è?). La sua chiusura $\overline{\gamma}$ è tutto $\mathbb{C}$. Quindi
\[ \partial \gamma = \overline{\gamma} \setminus Int(\gamma) = \mathbb{C} - \gamma = \{ 3-j\} \]
In generale la frontiera di un insieme non è contenuta nell'insieme (anzi lo è se e solo se tale insieme è chiuso). Per esempio la frontiera di $A=[0,4)$ è l'insieme $\partial A = \{0,4\}$ e nota che $4 \in \partial A$ ma $4 \notin A$.
Allora, nel primo caso ho inserito il modulo per sbaglio. Riesci a spiegarmi il perchè non è chiuso e perchè la frontiera è gamma U {0}?
Mentre nel secondo dico che gamma è aperto perchè per la definizione di aperto se prendo un qualsiasi punto che appartiene a gamma esiste sempre una crf di raggio r interamente contenuta in gamma. Corretto?
Grazie per la risposta
Mentre nel secondo dico che gamma è aperto perchè per la definizione di aperto se prendo un qualsiasi punto che appartiene a gamma esiste sempre una crf di raggio r interamente contenuta in gamma. Corretto?
Grazie per la risposta
"FeFeZ":
Allora, nel primo caso ho inserito il modulo per sbaglio. Riesci a spiegarmi il perchè non è chiuso e perchè la frontiera è gamma U {0}?
Nel contesto di $\mathbb{C}$, che è quello che ci interessa, un insieme è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione. Come puoi vedere facilmente $0+j0$ è un punto di accumulazione di $\gamma$ ma non appartiene a $\gamma$. Inoltre puoi verificare che, per esempio, per il punto $1+j$ non esiste alcuna palla centrata in esso interamente contenuta nell'insieme (un rapido disegno può aiutare). Dunque $\gamma$ non è né aperto né chiuso.
La chiusura di $\gamma$ è il più piccolo chiuso che contiene $\gamma$ o equivalentemente $\gamma$ unito ai suoi punti di accumulazione. Puoi verificare che $0+j0$ è l'unico punto di accumulazione dell'insieme e dunque la chiusura di $\gamma$ è $\gamma \cup \{0+j0\}$.
Infine puoi verificare che $Int(\gamma)$ è l'insieme vuoto e dunque la frontiera di $\gamma$ è data da:
\[ \partial \gamma = \overline{\gamma} \setminus Int(\gamma) = \gamma \cup \{0+j0\} \setminus \emptyset = \gamma \cup \{0+j0\} \]
"FeFeZ":
Mentre nel secondo dico che gamma è aperto perchè per la definizione di aperto se prendo un qualsiasi punto che appartiene a gamma esiste sempre una crf di raggio r interamente contenuta in gamma. Corretto?
Si! Ancora più banalmente puoi osservare che il singoletto \( \{3-j\} \) è un insieme chiuso (è sempre vero negli spazi metrici e quindi in particolare in $\mathbb{C}$) e dunque, essendo $\gamma$ il complementare di un chiuso, deve essere aperto.
Tutto chiaro ora, grazie mille!
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