Insieme non misurabile.

[Studente Anonimo]

È possibile trovare un sottoinsieme di \( \mathbb{R} \) non misurabile senza usare l'assioma della scelta?

[dissonance]

Non misurabile secondo Lebesgue? Credo di no. Bisogna chiedere a qualcuno che se ne intende di questa roba, non certo a me, ma ho letto da varie parti che senza assioma della scelta tutti i sottoinsiemi di \(\mathbb R\) sono misurabili secondo Lebesgue. Se ti interessa, cerca su "Axiom of choice" di Horst Herrlich (libro consigliato dal grande ViciousGoblin svariati anni fa).

[solaàl]

La risposta è proprio sul libro di Herrlich https://math.stackexchange.com/question ... -of-choice

[Studente Anonimo]

Il mio prof di analisi 4, alla domanda ha risposto di prendere con le pinze la sua risposta perché non è il suo campo di ricerca e che deve controllare ma che senza l'assioma della scelta è indecidibile se è possibile trovare un insieme non misurabile (si Lebesgue). E quindi volevo appunto sapere se a qualcuno risultasse la stessa cosa.

[otta96]

Si è vero, con l'assioma della scelta dimostri che esiste (basta anche un po' meno), mentre Solovay ha dimostrato che "esiste" un modello di ZF in cui ogni sottoinsieme di $RR$ è misurabile secondo Lebesgue. In questo modello vale l'assioma della scelta dipendente (DC), quindi nemmeno in ZF+DC non puoi dimostrare che esiste un insieme non misurabile (cioè anche in ZF+DC è indecidibile).
Quello che non è vero e che a volte si sente dire è che l'esistenza di un insieme non misurabile sia equivalente (in ZF) all'assioma della scelta. Comunque a meno che non ti interessino veramente tanto queste questioni al punto da volerti specializzare in queste cose non hai bisogno di sapere altro.

[Studente Anonimo]

No aspetta, mi sono un po' perso. Perché ho un corso (opzionale che penso proprio di prendere) il semestre prossimo su queste cose quindi mi sono un po' perso. Però mi interessano molto, non le ho mai viste in modo formale ma solo letto qualcosina per fatti miei. Potresti spiegarti meglio per piacere. Grazie.

[otta96]

Ma cosa di preciso non hai capito?

[Studente Anonimo]

-Perché basta un po' meno dell'assioma della scelta per dimostrare che esiste un insieme non misurabile.
- Cos'è DC ?
- In che senso esiste un modello di ZF ? Il modello ZF non è solo il modello ZF?
- Se dici che non puoi dimostrare che esiste un insieme non misurabile sottointendi anche che non puoi dimostrare che non esiste un insieme non misurabile quando poi dici che è indecidibile
edit: ed infinie perché è indecidibile tolto l'assioma della scelta

[otta96]

"3m0o":-Perché basta un po' meno dell'assioma della scelta per dimostrare che esiste un insieme non misurabile.

In che senso perché? Perché esiste una dimostrazione che non lo usa ed usa dei risultati che sono notoriamente logicamente più deboli dall'assioma della scelta.

- Cos'è DC ?

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_dependent_choice

- In che senso esiste un modello di ZF ? Il modello ZF non è solo il modello ZF?

Pfffffffffff...

- Se dici che non puoi dimostrare che esiste un insieme non misurabile sottointendi anche che non puoi dimostrare che non esiste un insieme non misurabile quando poi dici che è indecidibile

Esatto.

edit: ed infinie perché è indecidibile tolto l'assioma della scelta

Per quel risultato di Solovay.

[Studente Anonimo]

"otta96":
In che senso perché? Perché esiste una dimostrazione che non lo usa ed usa dei risultati che sono notoriamente logicamente più deboli dall'assioma della scelta.

Si questo l'avevo capito ma effettivamente mi sono espresso male intendevo dire che non capisco a livello intuitivo perché l'assioma della scelta (o qualcosa di meno) entri in gioco con la misurabilità di un insieme. Nel senso okay nella costruzione di Vitali serve, ma in generale non capisco come possa essere necessario.

"otta96":
Pfffffffffff...

Te l'ho detto che non ho mai visto queste cose

"otta96":
Per quel risultato di Solovay.

Sostanzialmente questa era legata alla prima domanda.