Insieme non misurabile
Ho il seguente esercizio che mi chiede di trovare un insieme $E \subset \mathbb{R}^2$ che sia misurabile e tale per cui $\exists x \in \mathbb{R}^2$ tale che $E_x={(x,y) con (x,y) \in E, y \in \mathbb{R}^2}$ sia non misurabile.
So che sicuramente devo ricondurmi in qualche modo all'insieme di Cantor o a quello di Vitali, ma non riesco a capire come..
So che sicuramente devo ricondurmi in qualche modo all'insieme di Cantor o a quello di Vitali, ma non riesco a capire come..
Risposte
Può essere utile ricordare che la misura di Lebesgue nel piano è completa...
"otta96":
Può essere utile ricordare che la misura di Lebesgue nel piano è completa...
Non capisco come possa essermi utile
Mi sa che avevo letto male il testo, ora che lo leggo meglio però noto che non ha senso, come può $y$ stare in $RR^2$ se $(x, y) \in RR^2$?
"otta96":
Mi sa che avevo letto male il testo, ora che lo leggo meglio però noto che non ha senso, come può $y$ stare in $RR^2$ se $(x, y) \in RR^2$?
Non saprei, essendo un vecchio esercizio di esame è anche possibile un errore di battitura poi rettificato in aula. Supponiamo che sia x che y siano in $\mathbb{R} $, non so farlo ugualmente
Rimane il problema che $y$ non è quantificato, quindi l'esercizio continua a non avere senso.
Secondo me quello che intendeva scrivere è $E_x={y\inRR|(x,y)\inE}$.
Prova a risolverlo così, ragionando sul mio primo suggerimento unito al fatto che la misura di un prodotto di insiemi misurabili è il prodotto delle loro misure.
Secondo me quello che intendeva scrivere è $E_x={y\inRR|(x,y)\inE}$.
Prova a risolverlo così, ragionando sul mio primo suggerimento unito al fatto che la misura di un prodotto di insiemi misurabili è il prodotto delle loro misure.
"otta96":
Rimane il problema che $y$ non è quantificato, quindi l'esercizio continua a non avere senso.
Secondo me quello che intendeva scrivere è $E_x={y\inRR|(x,y)\inRR^2}$.
Prova a risolverlo così, ragionando sul mio primo suggerimento unito al fatto che la misura di un Ma rodotto di insiemi misurabili è il prodotto delle loro misure.
Continua a non venirmi in mente niente
"otta96":
Rimane il problema che $y$ non è quantificato, quindi l'esercizio continua a non avere senso.
Secondo me quello che intendeva scrivere è $E_x={y\inRR|(x,y)\inRR^2}$.
Prova a risolverlo così, ragionando sul mio primo suggerimento unito al fatto che la misura di un prodotto di insiemi misurabili è il prodotto delle loro misure.
Penso che tu voglia dire
\[ E_x= \{ y\in \mathbb{R} | (x,y)\in E \} \subseteq \mathbb{R} \]
Se fosse così, ludovica_97, mi sembra abbastanza facile. Ti stanno chiedendo di esibire un sottoinsieme misurabile di \( \mathbb{R}^2 \) (secondo la misura di Lebesgue su \( \mathbb{R}^2 \) ) tale che una sua "striscia verticale", vista come sottoinsieme di \( \mathbb{R} \), sia non misurabile secondo la misura di Lebesgue su \( \mathbb{R} \).
P.S.: che c'entra l'insieme di Cantor? Quello è misurabilissimo.
"Bremen000":
Penso che tu voglia dire
\[ E_x= \{ y\in \mathbb{R} | (x,y)\in E \} \subseteq \mathbb{R} \]
Si certo, grazie Bremen della correzione.
@ludovica_97 considera ${0}\timesE$ dove $E$ è l'insieme di Vitali (o qualsiasi insieme non misurabile), che proprietà ha?
"otta96":
[quote="Bremen000"]Penso che tu voglia dire
\[ E_x= \{ y\in \mathbb{R} | (x,y)\in E \} \subseteq \mathbb{R} \]
Si certo, grazie Bremen della correzione.
@ludovica_97 considera ${0}\timesE$ dove $E$ è l'insieme di Vitali (o qualsiasi insieme non misurabile), che proprietà ha?[/quote]
Be, so che se i due insiemi sono misurabili allora la loro misura è un insieme misurabile e la loro misura è il prodotto delle misure ma in questo caso Vitali non é misurabile.
Però so che se $|E|=0$ allora $|Ex \mathbb{R} |=0$ quindi nel mio caso ${0}x V$ è contenuto in ${0}x \mathbb{R} $ il che vuol dire che in caso fosse misurabile $|{0}x V|=0$ quindi devo far vedere che questo non è possibile...? Sono sulla strada giusta?
Cerca di scrivere con le formule per bene, il prodotto cartesiano si fa con
.
Comunque, modulo un po' di confusione, mi pare che ci sei:
\[ \{ 0 \} \times E \subset \{0 \} \times \mathbb{R} \]
e \( \mathcal{L}^2(\{0 \} \times \mathbb{R} ) =0 \). Siccome \( \mathcal{L}^2 \) è completa, allora anche \( \{ 0 \} \times E \) è \( \mathcal{L}^2\)- misurabile e \( \mathcal{L}^2(\{0 \} \times E ) =0 \).
Tuttavia \( E \subset \mathbb{R} \) non è \(\mathcal{L}^1\)-misurabile.
\times
.
Comunque, modulo un po' di confusione, mi pare che ci sei:
\[ \{ 0 \} \times E \subset \{0 \} \times \mathbb{R} \]
e \( \mathcal{L}^2(\{0 \} \times \mathbb{R} ) =0 \). Siccome \( \mathcal{L}^2 \) è completa, allora anche \( \{ 0 \} \times E \) è \( \mathcal{L}^2\)- misurabile e \( \mathcal{L}^2(\{0 \} \times E ) =0 \).
Tuttavia \( E \subset \mathbb{R} \) non è \(\mathcal{L}^1\)-misurabile.
Grazie mille!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo