Insieme misurabile secondo Peano-Jordan
Salve, allora il problema riguarda la misurabilità secondo Peano-Jordan dell'insieme che vado ora a definire. Sia $A_n=\{\frac{1}{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$. Definiamo
\[
A=\bigcup_n A_n.
\]
Ora, indichiamo con $m_i(A)$ e $m_e(A)$ rispettivamente la misura interna ed esterna di Peano-Jordan dell'insieme $A$ di cui dobbiamo verificare la misurabilità. Siccome,
\[
A=\bigcup_n A_n\subset[0,1]
\]
si ha che $m_e(A)\le m_e[0,1]=1$, inoltre, $m_i(A)\le m_i[0,1]=1$. Ora, per definizione di misura interna ed esterna sappiamo che
\[
m_i(A)\le m_e(A).
\]
Da queste considerazioni non so come concludere, però, sulla misurabilità di $A$. Qualcuno sarebbe così gentile da darmi una mano?
Saluti
\[
A=\bigcup_n A_n.
\]
Ora, indichiamo con $m_i(A)$ e $m_e(A)$ rispettivamente la misura interna ed esterna di Peano-Jordan dell'insieme $A$ di cui dobbiamo verificare la misurabilità. Siccome,
\[
A=\bigcup_n A_n\subset[0,1]
\]
si ha che $m_e(A)\le m_e[0,1]=1$, inoltre, $m_i(A)\le m_i[0,1]=1$. Ora, per definizione di misura interna ed esterna sappiamo che
\[
m_i(A)\le m_e(A).
\]
Da queste considerazioni non so come concludere, però, sulla misurabilità di $A$. Qualcuno sarebbe così gentile da darmi una mano?
Saluti
Risposte
Un sottoinsieme limitato di $RR$ è PJ-misurabile se e solo se la sua funzione caratteristica è Riemann-integrabile, se e solo se esso è Riemann-misurabile.
Ora, c'è una dimostrazione molto semplice che l'insieme in questione è Riemann-misurabile, (di misura $0$), dato che \(\int_{[0,1]} f = \int_{[0,\alpha]}f< 2\alpha\) per ogni $\alpha > 0$).
Ora, c'è una dimostrazione molto semplice che l'insieme in questione è Riemann-misurabile, (di misura $0$), dato che \(\int_{[0,1]} f = \int_{[0,\alpha]}f< 2\alpha\) per ogni $\alpha > 0$).
"elatan":
Salve, allora il problema riguarda la misurabilità secondo Peano-Jordan dell'insieme che vado ora a definire. Sia $A_n=\{\frac{1}{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$. Definiamo
\[
A=\bigcup_n A_n.
\]
Questo non è ben definito. Cosa intendi per \(\{\frac{1}{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\)? Non si capisce se intendi \(\{1/n\}\) oppure \(\{1, 1/2, 1/3,\ldots\}\).
Ma no, sarà semplicemente "i singoletti" e $A$ è l'insieme \(\{\frac{1}{n}\mid n\ge 1\}\)...
Si, $A_n$ è il singoletto $\{\frac{1}{n}\}$ per ogni $n$ fissato, mentre l'insieme da verificare la misurabilità è $A=\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\}$.
Grazie per le risposte!
Grazie per le risposte!
In generale, ogni successione con un numero finito di punti-limite (o valori di aderenza che dir si voglia) al finito è misurabile (ed ha misura nulla) secondo Peano-Jordan.
Diciamo che $(a_n)$ ha un unico punto-limite $a in RR$.
Fissato $epsilon >0$, tutti i punti di $(a_n)$, tranne al più un numero finito $\nu$, cadono in $J_0:= ]a-epsilon/4 , a+epsilon/4[$ (infatti, se ciò, per assurdo, ciò non fosse vero, per Bolzano-Weierstrass $(a_n)$ dovrebbe avere almeno un'altro punto-limite al finito; ma ciò non è vero!); i $nu$ punti di $(a_n)$ che eventualmente cadono fuori da $J_0$ si possono infilare ognuno dentro un proprio intorno $J_k$ di ampiezza $epsilon/(12nu)$; dunque la famiglia di intervalli $J_0,J_1, \ldots, J_nu$ ricopre $(a_n)$ ed ha somma delle ampiezze uguale a $epsilon/2 + nu\ epsilon/(6nu) = (2epsilon)/3 < epsilon$.
La dimostrazione del caso generale con $k>1$ punti-limite si fa allo stesso modo, scegliendo bene le ampiezze degli intorni.
Diciamo che $(a_n)$ ha un unico punto-limite $a in RR$.
Fissato $epsilon >0$, tutti i punti di $(a_n)$, tranne al più un numero finito $\nu$, cadono in $J_0:= ]a-epsilon/4 , a+epsilon/4[$ (infatti, se ciò, per assurdo, ciò non fosse vero, per Bolzano-Weierstrass $(a_n)$ dovrebbe avere almeno un'altro punto-limite al finito; ma ciò non è vero!); i $nu$ punti di $(a_n)$ che eventualmente cadono fuori da $J_0$ si possono infilare ognuno dentro un proprio intorno $J_k$ di ampiezza $epsilon/(12nu)$; dunque la famiglia di intervalli $J_0,J_1, \ldots, J_nu$ ricopre $(a_n)$ ed ha somma delle ampiezze uguale a $epsilon/2 + nu\ epsilon/(6nu) = (2epsilon)/3 < epsilon$.
La dimostrazione del caso generale con $k>1$ punti-limite si fa allo stesso modo, scegliendo bene le ampiezze degli intorni.
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