Identità tra polinomi di Legendre

[NomeGiaInUso1]

Sto cercando di dimostrare la seguente identità che coinvolge i polinomi di Legendre
$(x^2-1)P'_{n}(x)=nxP_n(x)-nP_{n-1}$
senza usare la funzione generatrice quindi i miei strumenti sono la formula di ricorsione $nP_n(x)-(2n-1)xP_{n-1}(x)+(n-1)P_{n-2}(x)=0$ e la formula di Rodrigues $P_n(x)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n} ((x^2-1)^n)$.
Ho fatto diversi tentativi che non sembrano portare da nessuna parte, ad esempio partendo dal membro di sinistra non riesco a ottenere solo termini privi di una derivata. Sapreste darmi un consiglio?

[Quinzio]

Se prendi la formula di Rodrigues ed espandi il polinomio da derivare, dopo, fare le $n$ derivate diventa relativamente facile.
Ovvero espandi:
$ (x^2-1)^n = x^(2n) - n x^(2n-2)+... +(-1)^n = \sum_(k=0)^n ((n),(k)) (-1)^(n-k)x^(2k) $

e derivi i singoli monomi in $x$

ad es: $ \frac{d^n}{dx^n} x^(2n) = ((2n)!)/(n!) x^n$

Quindi si confrontano i monomi di pari potenza, che devono essere uguali.

Io proseguo solo con $x^(2n)$ che e' quello piu' semplice.

A sinistra $x^2 P_n'(x) = n xP_n(x)$ a destra diventa

$x^2 d/(dx)[ \frac{1}{2^n n!} ((2n)!)/(n!) x^n] = nx \frac{1}{2^n n!} ((2n)!)/(n!) x^n $

semplificando

$x^2 d/(dx)[ ((2n)!)/(n!) x^n] = nx ((2n)!)/(n!) x^n $

$x^2 ((2n)!)/((n-1)!) x^(n-1) = ((2n)!)/((n-1)!) x^(n+1) $

$ ((2n)!)/((n-1)!) x^(n+1) = ((2n)!)/((n-1)!) x^(n+1) $

Adesso quello che dovresti fare per concludere l'esercizio e' di isolare il monomio generico $x^k$
e vedere che ha il moltiplicatore uguale a destra e sinistra.
Il caso generico e' piu' complicato, ma il concetto e' identico.

$ nP_n(x)-(2n-1)P_{n-1}(x)+(n-1)P_{n-2}(x)=0 $

Qui c'e' un errore nella formula.
Se $n$ e' ad esempio pari, $P_n$ genera solo termini di potenza pari, e quindi $P_(n-1)$
genera solo potenze dispari e $P_(n-2)$ pari .
Ma allora non si capisce con cosa si cancellano le potenze dispari.
$ nP_n(x)+(n-1)P_{n-2}(x)=(2n-1)P_{n-1}(x) $
A sinistra solo potenze pari e a destra solo potenze dispari ?

[NomeGiaInUso1]

Grazie per la risposta. Ho corretto l'errore nella formula di ricorsione, nella scrittura mi era sfuggita una $x$.