Identità funzione di Bessel
Salve a tutti, avrei bisogno di un piccolo aiuto.
Sto facendo un esercizio e nel testo ad un certo punto mi dice di usare la seguente identità:
\[e^{-2i\gamma t} J_{\left|n\right|}(2\gamma t) = e^{\frac{\pi i}{2}} \sum_{k=|n|}^{\infty} \frac{(-i\gamma t)^k}{k!}\binom{2t}{k-n}\]
Ora, tralasciando le varie costanti, non riesco a trovare questa identità da nessuna parte. L'unica che penso si possa avvicinare è questa che ho trovato:
\[ J_\nu(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\Gamma(\nu+n+1)n!}\left(\frac{z}{2} \right)^{\nu+2n}\]
Ho provato a manipolarla in vari modi considerando la funzione gamma per numeri interi ma non riesco ad ottenere quella di sopra che sembra avere un fattoriale di troppo.
Qualcuno sa indirizzarmi su qualche identità migliore da usare oppure c'è qualcosa che sbaglio nei calcoli?
Ho già cercato sull'Abramwitz e quasi ovunque sul web, ma evidentemente mi sfugge qualcosa.
Grazie mille per l'aiuto.
Sto facendo un esercizio e nel testo ad un certo punto mi dice di usare la seguente identità:
\[e^{-2i\gamma t} J_{\left|n\right|}(2\gamma t) = e^{\frac{\pi i}{2}} \sum_{k=|n|}^{\infty} \frac{(-i\gamma t)^k}{k!}\binom{2t}{k-n}\]
Ora, tralasciando le varie costanti, non riesco a trovare questa identità da nessuna parte. L'unica che penso si possa avvicinare è questa che ho trovato:
\[ J_\nu(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\Gamma(\nu+n+1)n!}\left(\frac{z}{2} \right)^{\nu+2n}\]
Ho provato a manipolarla in vari modi considerando la funzione gamma per numeri interi ma non riesco ad ottenere quella di sopra che sembra avere un fattoriale di troppo.
Qualcuno sa indirizzarmi su qualche identità migliore da usare oppure c'è qualcosa che sbaglio nei calcoli?
Ho già cercato sull'Abramwitz e quasi ovunque sul web, ma evidentemente mi sfugge qualcosa.
Grazie mille per l'aiuto.
Risposte
Onestamente no, non conosco quel sito. Mi faccio un giro e vedo se riesco a trovare qualcosa, grazie mille.
Il “sito” è la versione (aggiornata) online del celeberrimo Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions, testo di formule e tavole molto noto a chi (come fisici ed ingegneri) si trova spesso a fare i conti con le funzioni speciali.
Altro tomo che potrebbe interessarti è il Gradshteyn & Ryzhik, Tables of Integrals, Series and Products, che puoi reperire in qualsiasi (credo) biblioteca universitaria fornita di testi di Matematica avanzata.
Altro tomo che potrebbe interessarti è il Gradshteyn & Ryzhik, Tables of Integrals, Series and Products, che puoi reperire in qualsiasi (credo) biblioteca universitaria fornita di testi di Matematica avanzata.
Ho cercato sul sito ma non ho trovato niente che non avessi già incontrato prima. Evidentemente c'è da fare qualche strano magheggio.
Comunque avevo già cercato sull'Abramowitz ma quel sito è fantastico, è entrato subito nei preferiti
L'altro testo invece non lo conosco, Lunedì andrò in biblioteca all'università e spero di riuscire a tirare fuori qualcosa.
Grazie mille per l'aiuto, sei stato gentilissimo
Comunque avevo già cercato sull'Abramowitz ma quel sito è fantastico, è entrato subito nei preferiti
L'altro testo invece non lo conosco, Lunedì andrò in biblioteca all'università e spero di riuscire a tirare fuori qualcosa.
Grazie mille per l'aiuto, sei stato gentilissimo
Il fatto è che sono stanco e mi scoccia fare conti...
“A occhio”, suggerirei di sviluppare $e^(-2 i gamma t)$ e $J_(|n|)(2 gamma t)$ in serie di potenze e calcolare il loro prodotto secondo Cauchy, in modo da vedere se esso coincide col secondo membro.
Mi sembra che possa funzionare, modulo i conti da fare.
“A occhio”, suggerirei di sviluppare $e^(-2 i gamma t)$ e $J_(|n|)(2 gamma t)$ in serie di potenze e calcolare il loro prodotto secondo Cauchy, in modo da vedere se esso coincide col secondo membro.
Mi sembra che possa funzionare, modulo i conti da fare.
"gugo82":
Il fatto è che sono stanco e mi scoccia fare conti...
No figurati, non ti chiedo questo...
"gugo82":
“A occhio”, suggerirei di sviluppare $e^(-2 i gamma t)$ e $J_(|n|)(2 gamma t)$ in serie di potenze e calcolare il loro prodotto secondo Cauchy, in modo da vedere se esso coincide col secondo membro.
Mi sembra che possa funzionare, modulo i conti da fare.
Purtroppo ad ingegneria non ho fatto quelle cose (forse la trasformata Zeta è una serie di potenze?) e adesso, facendo la tesi in un argomento di Fisica, sono un attimo in difficoltà...ma alla fine è divertente perchè sto imparando un sacco di nuovi strumenti matematici
Adesso sono stanco anche io ma comunque domani mi documento su quello che mi hai suggerito...
EDIT: ho appena letto che il prodotto secondo Cauchy è praticamente la convoluzione discreta che è un argomento trattato nel mio corso.
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