Hilbert e spazio perpendicolare ad una base di Schauder.
Sia \( \{ e_n\}_{n \geq 1} \) una successione ortonormata in uno spazio prehilbertiano \(X\) su \(\mathbb{R} \) o \( \mathbb{C}\).
Siano inoltre (1) e (2) le seguenti proprietà
\[ \forall x \in X, x = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left< x, e_k \right> e_k \ \ \ \ \ (1) \]
\[ \{ x \in X : \left< x, e_n \right> = 0 , \forall n \in \mathbb{N} \} = \{0\} \ \ \ \ \ (2) \]
1) Dimostra se \(\{e_n\}_n\) soddisfa (1) allora \( \{e_n\}_n \) è una base di Schauder.
2) Dimostra che per tutti gli \( x \in X \) abbiamo che \( \left( \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}} \left< x, e_k \right> e_k \right)_{n \geq 1} \) è una successione di Cauchy
3) Dimostra che se \( \{e_n\} \) soddisfa (1) allora (2) è soddisfatta.
4) Dimostra che se \(X\) è di Hilbert e \( \{ e_n \}_n \) soddisfa (2) allora (1) è verificata.
Avrei una domanda, è essenziale che la successione \( \{e_n \}_n \) sia infinita? Cioè perché talune volte, per evitare di specificare ogni volta, il prof chiama successione anche quando può essere in realtà di lunghezza finita. Ma in questo caso necessariamente devo avere infiniti \( \{e_n\}_n \). Anche perché l'unico vettore che è perpendicolare a tutti gli elementi della base è solo il vettore nullo in qualunque spazio vettoriale di dimensione finita, inoltre se è di Hilbert questo implicherebbe (1) che implicherebbe che possiede una base di Schauder che implica a sua volta che lo spazio vettoriale è di dimensione infinita. Vero?
Siano inoltre (1) e (2) le seguenti proprietà
\[ \forall x \in X, x = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left< x, e_k \right> e_k \ \ \ \ \ (1) \]
\[ \{ x \in X : \left< x, e_n \right> = 0 , \forall n \in \mathbb{N} \} = \{0\} \ \ \ \ \ (2) \]
1) Dimostra se \(\{e_n\}_n\) soddisfa (1) allora \( \{e_n\}_n \) è una base di Schauder.
2) Dimostra che per tutti gli \( x \in X \) abbiamo che \( \left( \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}} \left< x, e_k \right> e_k \right)_{n \geq 1} \) è una successione di Cauchy
3) Dimostra che se \( \{e_n\} \) soddisfa (1) allora (2) è soddisfatta.
4) Dimostra che se \(X\) è di Hilbert e \( \{ e_n \}_n \) soddisfa (2) allora (1) è verificata.
Avrei una domanda, è essenziale che la successione \( \{e_n \}_n \) sia infinita? Cioè perché talune volte, per evitare di specificare ogni volta, il prof chiama successione anche quando può essere in realtà di lunghezza finita. Ma in questo caso necessariamente devo avere infiniti \( \{e_n\}_n \). Anche perché l'unico vettore che è perpendicolare a tutti gli elementi della base è solo il vettore nullo in qualunque spazio vettoriale di dimensione finita, inoltre se è di Hilbert questo implicherebbe (1) che implicherebbe che possiede una base di Schauder che implica a sua volta che lo spazio vettoriale è di dimensione infinita. Vero?
Risposte
Domanda 2: Inoltre nell'esercizio dopo mi si chiede di dimostrare che in uno spazio prehilbertiano \(X\) che sia anche separabile e di dimensione infinita, allora possiede una successione ortonormata totale. Ora una successione è ortonormata totale se e solo se verifica (1) (credo). Pertanto mi chiedevo quale fosse un esempio di spazio prehilbertiano \(X\) di dimensione infinita che non possiede successioni che verificano (1).
Domanda 3: Se ho una base di Schauder in uno spazio prehilbertiano allora necessariamente soddisfa (1) ?
Domanda 3: Se ho una base di Schauder in uno spazio prehilbertiano allora necessariamente soddisfa (1) ?
"3m0o":
Domanda 2: Inoltre nell'esercizio dopo mi si chiede di dimostrare che in uno spazio prehilbertiano \( X \) che sia anche separabile e di dimensione infinita, allora possiede una successione ortonormata totale. Ora una successione è ortonormata totale se e solo se verifica (1) (credo). Pertanto mi chiedevo quale fosse un esempio di spazio prehilbertiano \( X \) di dimensione infinita che non possiede successioni che verificano (1).
Per questa credo che il seguente esempio vada bene:
Se \( \mathcal{F} := \{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \} \) e definendo \( e_r \in \mathcal{ F} \) come segue \( e_r(x) = 1 \) se \( r=x\) e \( e_r(x) = 0 \) altrimenti. Definiamo inoltre
\[ X = \operatorname{span}\{ e_r : r \in \mathbb{R}\} \]
et rendiamolo uno spazio prehilbertiano definendo
\[ \left< f,g \right> := \sum_{ t \in \{ x : f(x)g(x) \neq 0 \} } f(t)g(t) \]
Allora non è separabile come spazio. Poiché se prendiamo un insieme denso \(D\) allora non è numerabile poiché per \( r_1 \neq r_2 \) abbiamo che
\[ \parallel e_{r_1} - e_{r_2} \parallel = 2 \]
quindi scegliendo \( \epsilon > 0\) piccolino abbiamo che \( B(e_{r_1},\epsilon) \cap D \neq \emptyset \) e \( B(e_{r_2},\epsilon) \cap D \neq \emptyset \) ma \( B(e_{r_1},\epsilon) \cap B(e_{r_2},\epsilon) = \emptyset \), quindi abbiamo una iniezione tra \( \{ e_r : r \in \mathbb{R} \} \) e un sottoinsieme di \( D \).
Ora poiché non è separabile. Se ammettesse una base di Schauder avremmo che sarebbe separabile. E quindi non ammette nemmeno una successione ortonormata totale.
(Non ho mai sentito “ortonormata” in italiano, solo “ortonormale”).
La mia congettura è che l’esistenza di una base ortonormale, come nella (1), sia equivalente alla completezza di \(X\).
Ricorda per favore la definizione di base di Schauder.
Le considerazioni del primo post mi sembrano corrette.
). Riguardo la tua Domanda 2, tutti gli spazi di Hilbert hanno basi ortonormali, quindi l’esempio che cerchi deve per forza essere non completo. Ma non me ne viene in mente nessuno. È una buona domanda.La mia congettura è che l’esistenza di una base ortonormale, come nella (1), sia equivalente alla completezza di \(X\).
Ricorda per favore la definizione di base di Schauder.
Le considerazioni del primo post mi sembrano corrette.
"dissonance":
(Non ho mai sentito “ortonormata” in italiano, solo “ortonormale”).
eh.... scusa
"dissonance":
La norma è quella indotta dal prodotto.
"dissonance":
La mia congettura è che l’esistenza di una base ortonormale, come nella (1), sia equivalente alla completezza di \(X\).
Ci devo pensare.
Si, infatti, ho scritto di ignorare quel remark, perché l'esempio va bene. Hai ragione. Quello spazio non è separabile quindi non può avere una base ortonormale numerabile. Potrebbe averne una non numerabile, però, ma qui si va nel tecnico e non penso sia una osservazione interessante.
Beh direi che \( \{ e_r : r \in \mathbb{R} \} \) è una base non numerabile di \(X\) per definizione direi.
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