[Hahn-Banach] Insieme denso $\Rightarrow$ unica estensione
Buon pomeriggio forumisti.
In generale, dato un funzionale lineare $T$ bounded su un sottospazio $Y$ di uno spazio normato $(X, || \cdot ||)$, l'estensione $\tilde{T}$ data dal thm. di Hahn Banach non è unica, ed esistono classici controesempi.
Come esercizio, dovrei mostrare che
Essendo molto veloce, non ho voluto cercare soluzioni o altro sul web, dunque questo sarebbe il mio tentativo:
Sia $Y \subset X$ denso in $X$. Dato il funzionale $T$ su uno spazio normato, è noto che, via Hahn-Banach e scegliendo come "quasi norma" $p(x)= |T |_{Y'} || x ||$, allora $T$ è bounded ed esiste $\tilde{T}$ che estende $T$ su tutto $X$.
Siano dunque $f,g$ estensioni di $T$. Ovviamente si ha $(f-g)(x)=0$ su $Y$.
Ma l'insieme $\{x \in Y: (f-g)(x)= 0 \}$ è chiuso, in quanto controimmagine di ${0}$ mediante la funzione continua $d(x)=(f-g)(x)$. Perciò
Vorrei mostrare anche il converso, che senz'altro sarà più laborioso. Nel frattempo, quanto fatto fin qui va bene?
In generale, dato un funzionale lineare $T$ bounded su un sottospazio $Y$ di uno spazio normato $(X, || \cdot ||)$, l'estensione $\tilde{T}$ data dal thm. di Hahn Banach non è unica, ed esistono classici controesempi.
Come esercizio, dovrei mostrare che
"Esercizio":
se $Y$ è un sottospazio denso di $X$, allora l'estensione è unica
Essendo molto veloce, non ho voluto cercare soluzioni o altro sul web, dunque questo sarebbe il mio tentativo:
Sia $Y \subset X$ denso in $X$. Dato il funzionale $T$ su uno spazio normato, è noto che, via Hahn-Banach e scegliendo come "quasi norma" $p(x)= |T |_{Y'} || x ||$, allora $T$ è bounded ed esiste $\tilde{T}$ che estende $T$ su tutto $X$.
Siano dunque $f,g$ estensioni di $T$. Ovviamente si ha $(f-g)(x)=0$ su $Y$.
Ma l'insieme $\{x \in Y: (f-g)(x)= 0 \}$ è chiuso, in quanto controimmagine di ${0}$ mediante la funzione continua $d(x)=(f-g)(x)$. Perciò
$(f-g)(x)=0$ $\text{su } Y=\bar{Y}=X$
da cui l'unicità.Vorrei mostrare anche il converso, che senz'altro sarà più laborioso. Nel frattempo, quanto fatto fin qui va bene?
Risposte
Grazie mille Delirium, anche per il consiglio di consulatare MSE.
Ma su libri niente? Perché feddy dice che sono esempi 'classici', e poi sui libri si è sicuri che sono corretti.
Ma su libri niente? Perché feddy dice che sono esempi 'classici', e poi sui libri si è sicuri che sono corretti.
Ho visto ora il post @gabriella... in generale se non me ne vengono in mente li cerco pure io su SE. In questo caso però li avevo già a disposizione dagli appunti presi a lezione.
Tornando in topic...
la limitatezza non viene dal fatto che il limite sopra esiste finito, nel caso in cui $x \in X \setminus Y$? Se invece $x \in Y$, allora anche in questo caso tale valore è finito in quanto $T$ è limitato per ipotesi.
Tornando in topic...
"Bremen000":
In realtà come l'hai fatto tu non so se va bene. In teoria non sai calcolare $T$ sugli $z_n$. Ti basta mostrare che \( \tilde{T} \) è limitato.
la limitatezza non viene dal fatto che il limite sopra esiste finito, nel caso in cui $x \in X \setminus Y$? Se invece $x \in Y$, allora anche in questo caso tale valore è finito in quanto $T$ è limitato per ipotesi.
Grazie feddy.
"feddy":
la limitatezza non viene dal fatto che il limite sopra esiste finito, nel caso in cui $x \in X \setminus Y$? Se invece $x \in Y$, allora anche in questo caso tale valore è finito in quanto $T$ è limitato per ipotesi.
Non ho capito benissimo cosa intendi dire. Il fatto è: siccome \( \tilde{T} \) è lineare per verificare che è continuo, ti basta controllare che sia limitato. Ovvero devi mostrare che esiste $C>0$ tale che
\[ |\tilde{T}x| \le C \|x\| \]
per ogni $x \in X$.
Ora se $x \in Y$ lo sai già con \( C = \|T\|_\text{op} \). In realtà questo vale anche per \( x \in X \setminus Y \). Infatti, presa \( \{x_n\}_{n \ge 1} \subset Y \) tale che \( x_n \to x \), allora sai che
\[ |\tilde{T} x_n| = |Tx_n| \le C \|x_n\| \quad \quad \forall \, n \ge 1 \]
passando al limite la disuguaglianza ottieni
\[ |\tilde{T}x| = | \lim_n Tx_n | = \lim_n |Tx_n| \le \lim_n C\|x_n \| = C\|x\| \Rightarrow |\tilde{T}x| \le C\|x\| \]
Tutto chiaro Bremen.
Ti ringrazio
Ti ringrazio
Di niente!
@Delirium
[ot]Mi ricordo che un po' di tempo fa lamentavi l'assenza del teorema di Hahn-Banach sul forum: è tornato!
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@Delirium
[ot]Mi ricordo che un po' di tempo fa lamentavi l'assenza del teorema di Hahn-Banach sul forum: è tornato!
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In che senso?[/ot]
"Bremen000":
Che cattiveria
In che senso?[/ot]
[ot]Be’, hai risposto in maniera estremamente netta a una (imbarazzante) domanda di lessico. La povertà del linguaggio telematico fa sì che la si interpreti come una sorta di tagliente osservazione. Che appare, se non cattiva, almeno dura. Quasi a voler riprendere.
Ma non ti preoccupare, magari la prossima volta mettimi uno smile, così mi sento meno sciocco![/ot]
Ma non ti preoccupare, magari la prossima volta mettimi uno smile, così mi sento meno sciocco![/ot]
[ot]Accidenti quante pippe mentali ti sei fatto su una semplice parola! 
Sarò stato netto, ma è il mio modo di fare. Magai la prossima volta ci metterò una faccina come hai suggerito
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Sarò stato netto, ma è il mio modo di fare. Magai la prossima volta ci metterò una faccina come hai suggerito
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[ot]Ma no, non mi ci sono tormentato così tanto. Era un commento così, leggero. Ma hai chiesto di spiegarne il motivo e scrivere le cose le fa apparire più pesanti di quello che sono!
Vedo già un'ottima padronanza delle faccine[/ot]
Vedo già un'ottima padronanza delle faccine
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