[Hahn-Banach] Insieme denso $\Rightarrow$ unica estensione
Buon pomeriggio forumisti.
In generale, dato un funzionale lineare $T$ bounded su un sottospazio $Y$ di uno spazio normato $(X, || \cdot ||)$, l'estensione $\tilde{T}$ data dal thm. di Hahn Banach non è unica, ed esistono classici controesempi.
Come esercizio, dovrei mostrare che
Essendo molto veloce, non ho voluto cercare soluzioni o altro sul web, dunque questo sarebbe il mio tentativo:
Sia $Y \subset X$ denso in $X$. Dato il funzionale $T$ su uno spazio normato, è noto che, via Hahn-Banach e scegliendo come "quasi norma" $p(x)= |T |_{Y'} || x ||$, allora $T$ è bounded ed esiste $\tilde{T}$ che estende $T$ su tutto $X$.
Siano dunque $f,g$ estensioni di $T$. Ovviamente si ha $(f-g)(x)=0$ su $Y$.
Ma l'insieme $\{x \in Y: (f-g)(x)= 0 \}$ è chiuso, in quanto controimmagine di ${0}$ mediante la funzione continua $d(x)=(f-g)(x)$. Perciò
Vorrei mostrare anche il converso, che senz'altro sarà più laborioso. Nel frattempo, quanto fatto fin qui va bene?
In generale, dato un funzionale lineare $T$ bounded su un sottospazio $Y$ di uno spazio normato $(X, || \cdot ||)$, l'estensione $\tilde{T}$ data dal thm. di Hahn Banach non è unica, ed esistono classici controesempi.
Come esercizio, dovrei mostrare che
"Esercizio":
se $Y$ è un sottospazio denso di $X$, allora l'estensione è unica
Essendo molto veloce, non ho voluto cercare soluzioni o altro sul web, dunque questo sarebbe il mio tentativo:
Sia $Y \subset X$ denso in $X$. Dato il funzionale $T$ su uno spazio normato, è noto che, via Hahn-Banach e scegliendo come "quasi norma" $p(x)= |T |_{Y'} || x ||$, allora $T$ è bounded ed esiste $\tilde{T}$ che estende $T$ su tutto $X$.
Siano dunque $f,g$ estensioni di $T$. Ovviamente si ha $(f-g)(x)=0$ su $Y$.
Ma l'insieme $\{x \in Y: (f-g)(x)= 0 \}$ è chiuso, in quanto controimmagine di ${0}$ mediante la funzione continua $d(x)=(f-g)(x)$. Perciò
$(f-g)(x)=0$ $\text{su } Y=\bar{Y}=X$
da cui l'unicità.Vorrei mostrare anche il converso, che senz'altro sarà più laborioso. Nel frattempo, quanto fatto fin qui va bene?
Risposte
"feddy":
[...] Ma l'insieme $\{x \in Y: (f-g)(x)= 0 \}$ è chiuso, [...]
C'e' un typo, l'insieme che ti interessa immagino sia \[ X' = \{x \in X: (f-g)(x)= 0 \} \subseteq X. \]Siccome e' chiuso (in quanto controimmagine di un chiuso) e \(Y \subseteq X'\) hai che \( \overline{Y} \subseteq X' \). Concludi per densita'.
Ciao Delirium, grazie per la risposta.
Sì, sono d'accordo, lì ho sbagliato.
dovrei specificare mediante una funzione continua in quanto $f$ e $g$ continue
Ad ogni modo, non capisco cosa serva il tuo $X'$, e quindi credo di perdermi qualcosa. Per ipotesi io so che l'estensione vale per tutti gli $x \in Y$.
Quindi scriverei $Y=\{x \in X: (f-g)(x)=0\}$, e $f-g$ si annulla su $Y=\overline{Y}=X$, dove l'ultima uguaglianza vale perché $Y$ è chiuso
Sì, sono d'accordo, lì ho sbagliato.
"Delirium":
Siccome e' chiuso (in quanto controimmagine di un chiuso)[...]
dovrei specificare mediante una funzione continua in quanto $f$ e $g$ continue
Ad ogni modo, non capisco cosa serva il tuo $X'$, e quindi credo di perdermi qualcosa. Per ipotesi io so che l'estensione vale per tutti gli $x \in Y$.
Quindi scriverei $Y=\{x \in X: (f-g)(x)=0\}$, e $f-g$ si annulla su $Y=\overline{Y}=X$, dove l'ultima uguaglianza vale perché $Y$ è chiuso
"feddy":
[...] Quindi scriverei $Y=\{x \in X: (f-g)(x)=0\}$, e $f-g$ si annulla su $Y=\overline{Y}=X$, dove l'ultima uguaglianza vale perché $Y$ è chiuso
Perche' a priori sai che \( f-g\) si annulla almeno in \(Y\); ma l'insieme \[ \{x \in X: (f-g)(x)=0\} \] e' in generale piu' grande di \(Y\). Del resto quando deduci che \( Y = X \) stai rendendo vuoto il teorema, quindi per forza ci dev'essere qualcosa di sbagliato...
Giusto, che scemo.
Dunque $Y \subseteq X'$, da cui, passando alle chiusure, $\overline{Y} \subseteq X'$. Per densità $X \subseteq X'$, ma poiché $X' \subseteq X$, allora $X'=X$ e vale la tesi.
Grazie, stavo dormendo
Dunque $Y \subseteq X'$, da cui, passando alle chiusure, $\overline{Y} \subseteq X'$. Per densità $X \subseteq X'$, ma poiché $X' \subseteq X$, allora $X'=X$ e vale la tesi.
Grazie, stavo dormendo
Esatto. \( X' \), essendo un chiuso contenente \(Y\) contiene anche la sua chiusura, e quindi rimane incastrato tra \( \overline{Y}\) e \(X\) che sono uguali per ipotesi.
A margine di tutto ciò, secondo me può essere carino per feddy provare a costruire a mano in questo caso l’estensione del funzionale a tutto lo spazio, cioè senza usare HB. È una cosa che poi ho visto usare in altri contesti diverse volte e comunque secondo me può essere utile!
Se non hai idea di dove iniziare
Se non hai idea di dove iniziare
Ciao Bremen000 
colgo l'occasione per cimentarmici (anche se ora vado di fretta
, e temo di non aver compreso bene la domanda)
Definirei $\tilde{T}(x)= lim_{n \ rarr \infty} T(y_n)$, $\text{se } x \in X\setminus Y$
colgo l'occasione per cimentarmici (anche se ora vado di fretta
, e temo di non aver compreso bene la domanda)Definirei $\tilde{T}(x)= lim_{n \ rarr \infty} T(y_n)$, $\text{se } x \in X\setminus Y$
Esatto, ora devi far vedere che quell’affare è ben definito! Cioè il limite esiste? Dipende dalla successione che approssima $x$ scelta? È continuo?
Poiché $Y$ è denso in $X$, allora ogni elemento $x$ di $X$ è il limite di una successione contenuta in $Y$: questo giustifica l'esistenza di una tale successione (che avrei dovuto specificare prima...)
Ragionando per assurdo, se il limite non esistesse, allora calcolandolo lungo due diverse successioni ${y_n}, {z_n}$ convergenti a $x$ otterrei due valori diversi, detti $a$ e $b$.
Ma allora $0 \ne a-b= \lim_{n \rarr +\infty} T(y_n)-T(z_n) = \lim_{n \rarr +\infty} T(y_n-z_n)=0$, da cui l'assurdo, perciò il limite esiste.
Sulla continuità intuitivamente direi proprio di sì: data ${y_n} \subset Y$ tale che $y_n \rarr x$, devo mostrare che $\tilde{T}(y_n) \rarr \tilde{T}(x)$. Avrei $\tilde{T}(y_n)=....$
Ragionando per assurdo, se il limite non esistesse, allora calcolandolo lungo due diverse successioni ${y_n}, {z_n}$ convergenti a $x$ otterrei due valori diversi, detti $a$ e $b$.
Ma allora $0 \ne a-b= \lim_{n \rarr +\infty} T(y_n)-T(z_n) = \lim_{n \rarr +\infty} T(y_n-z_n)=0$, da cui l'assurdo, perciò il limite esiste.
Sulla continuità intuitivamente direi proprio di sì: data ${y_n} \subset Y$ tale che $y_n \rarr x$, devo mostrare che $\tilde{T}(y_n) \rarr \tilde{T}(x)$. Avrei $\tilde{T}(y_n)=....$
Per ora tu hai fatto vedere che quel limite, se esiste finito, non dipende dalla successione scelta. E questo è importante. Non hai fatto vedere però che esiste!
Sinceramente non saprei come fare allora... mi pareva di averne mostrato l'esistenza per assurdo
Eh no! Tu hai detto "se esistono due successioni che hanno limite finito diverso". Chi ti dice che hanno per forza limite finito?
Giusto... per ipotesi so che $|T(x)| \leq |T|_{Y'} ||x||$ per ogni $x \in Y$, però sinceramente non saprei come sfruttarlo al meglio.
E' tutto quello che ti serve! Sia $x \in X \setminus Y$
1. Prendi \( \{x_n \}_{n \ge 1} \subset Y \) t.c. $x_n \to x$ che sappiamo esistere. Allora
\[ | T(x_n) - T(x_m) | \le C \| x_n - x_m\| \]
ma allora \( \{ T(x_n) \}_{n \ge 1} \subset \mathbb{R} \) è di Cauchy. Allora esiste (finito)
\[ \tilde{T}(x) := \lim_n T(x_n ) \]
2. Buona positura (posizione? positezza?): se \( \{ y_n \}_{ n \ge 1} \subset Y \) e $y_n \to x$ allora
\[ |T(y_n) - T(x_n) | = | T(x_n -y_n) | \le C \|x_n - y_n \| = 0 \]
cioè
\[ \lim_n T(y_n) \to \tilde{T}(x) \]
Mancano, se hai voglia e se ti interessa, linearità e continuità perché l'unicità l'hai già fatta vedere.
1. Prendi \( \{x_n \}_{n \ge 1} \subset Y \) t.c. $x_n \to x$ che sappiamo esistere. Allora
\[ | T(x_n) - T(x_m) | \le C \| x_n - x_m\| \]
ma allora \( \{ T(x_n) \}_{n \ge 1} \subset \mathbb{R} \) è di Cauchy. Allora esiste (finito)
\[ \tilde{T}(x) := \lim_n T(x_n ) \]
2. Buona positura (posizione? positezza?): se \( \{ y_n \}_{ n \ge 1} \subset Y \) e $y_n \to x$ allora
\[ |T(y_n) - T(x_n) | = | T(x_n -y_n) | \le C \|x_n - y_n \| = 0 \]
cioè
\[ \lim_n T(y_n) \to \tilde{T}(x) \]
Mancano, se hai voglia e se ti interessa, linearità e continuità perché l'unicità l'hai già fatta vedere.
Ti ringrazio Bremen!
Ovviamente, vorrei riuscire a terminare, e ti ringrazio per l'attenzione.
La linearità di $\tilde{T}$ segue dalla linearità del limite in sostanza, mentre la continuità mi interessa provare a mostrarla:
dalla teoria so che basta mostrare che $\tilde{T}$ è continua a $0$ in $X$. Sia ${z_n} \subset X\setminus Y$ tale che $z_n \rarr 0$, allora $\lim_n \tilde{T}(z_n) =\lim_n \lim_{h} T(z_{n_h}) = lim_n T(z_n) =0$ poiché $T$ è continuo per ipotesi.
Ovviamente, vorrei riuscire a terminare, e ti ringrazio per l'attenzione.
La linearità di $\tilde{T}$ segue dalla linearità del limite in sostanza, mentre la continuità mi interessa provare a mostrarla:
dalla teoria so che basta mostrare che $\tilde{T}$ è continua a $0$ in $X$. Sia ${z_n} \subset X\setminus Y$ tale che $z_n \rarr 0$, allora $\lim_n \tilde{T}(z_n) =\lim_n \lim_{h} T(z_{n_h}) = lim_n T(z_n) =0$ poiché $T$ è continuo per ipotesi.
[ot]
Definizione.[/ot]
"Bremen000":
Buona positura (posizione? positezza?)
Definizione.[/ot]
In realtà come l'hai fatto tu non so se va bene. In teoria non sai calcolare $T$ sugli $z_n$. Ti basta mostrare che \( \tilde{T} \) è limitato. In questa maniera hai anche che la norma operatoriale di $T$ e $\tilde{T}$ coincidono. Fatto ciò, sarà ultimata la dimostrazione del
nota infatti che di \( \mathbb{R} \) abbiamo usato solo la completezza e null'altro.
Teorema (di estensione limitata)
Sia $X$ uno spazio vettoriale normato e sia $B$ uno spazio di Banach. Sia $Y \subseteq X$ denso in $X$ e sia
\[ T : Y \to B \]
una mappa lineare e continua.
Allora esiste unico
\[ \tilde{T} : X \to B \]
lineare e continuo tale che \( \tilde{T} |_Y = T \) e \( \|T\|_{\text{op}} = \|\tilde{T}\|_{\text{op}} \).
nota infatti che di \( \mathbb{R} \) abbiamo usato solo la completezza e null'altro.
@otta
[ot]Che cattiveria
Probabilmente hai ragione![/ot]
[ot]Che cattiveria
Probabilmente hai ragione![/ot]
"feddy":
In generale, dato un funzionale lineare $T$ bounded su un sottospazio $Y$ di uno spazio normato $(X, || \cdot ||)$, l'estensione $\tilde{T}$ data dal thm. di Hahn Banach non è unica, ed esistono classici controesempi.
Gentilmente, feddy o qualcun altro, potete dirmi dove posso trovare questi classici controesempi? Io su i libri che ho, a una prima ricerca, non ne trovo manco uno. Grazie mille
"gabriella127":
[quote="feddy"]
In generale, dato un funzionale lineare $T$ bounded su un sottospazio $Y$ di uno spazio normato $(X, || \cdot ||)$, l'estensione $\tilde{T}$ data dal thm. di Hahn Banach non è unica, ed esistono classici controesempi.
Gentilmente, feddy o qualcun altro, potete dirmi dove posso trovare questi classici controesempi? Io su i libri che ho, a una prima ricerca, non ne trovo manco uno. Grazie mille[/quote]
Il primo che ho trovato. In generale MSE e' una repository incredibile di esempi (se uno, come me, e' troppo pigro per costruirseli da solo).
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