(Grandissimo) Dubbio teorico sulle singolarità e l'uso di Taylor
Sia \( f : \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C} \) analitica in un dominio \( \Omega \) del tipo \( \Omega = B_{r_{0}}(z_{0}) \setminus z_{0} \), ovvero, in un intorno di un determinato punto \( z_{0} \) escluso \( z_{0} \) (in cui essa non è analitica): allora si dice che \( f \) ha una singolarità isolata nel punto \( z_{0} \).
Sappiamo che se \( f \) è analitica in un dominio \( \Omega \), fissato un punto \( z_{0} \in \Omega \) e un suo intorno \( B_{r_{0}}(z_{0}) \subseteq \Omega \), allora per ogni \( z \in B_{r_{0}}(z_{0}) \) ( \(z_{0} \) compreso) la funzione \( f(z) \) è esprimibile tramite il suo sviluppo di Taylor.
Adesso, la domanda che vi pongo è: se una funzione \( f(z) \) ha una singolarità in un punto \( z_{0} \), è esprimibile in tale punto tramite la sua serie di Taylor centrata in quel punto?
Noto che in molti esercizi si usa esprimere funzioni che hanno delle singolarità in certi punti come serie di Taylor centrate in tali punti, con estrema superficialità e noncuranza e senza un minimo di motivazione teorica.
Per esempio, in un esercizio mi si richiede di dimostrare che la funzione \( f(z) = cos ( \frac{1}{z} ) \) ha una singolarità essenziale nel punto \( z_{0} = 0 \) e, nello svolgimento che si trova nella soluzione, si parte proprio scrivendo la serie di Taylor di \( cos(w) \), con \( w=\frac{1}{z} \)... ma in questo caso come faccio a giustificare che \( f(z) = cos ( \frac{1}{z} ) = \text{" Serie di Taylor di } cos ( \frac{1}{z} ) \text{ centrata nel punto } z_{0} = 0 \text{ "} \) se in tale punto la derivata della funzione non esiste, e quindi in tale punto non è neanche analitica??
o meglio...
è teoricamente corretto affermare che
\( f(z) = cos(\frac{1}{z}) = \Sigma ^{\infty} _{n=0} (-1)^{n} \frac{(\frac{1}{z})^{2n}}{(2n)!} \) in un intorno di \( z_{0} = 0 \)?
Sappiamo che se \( f \) è analitica in un dominio \( \Omega \), fissato un punto \( z_{0} \in \Omega \) e un suo intorno \( B_{r_{0}}(z_{0}) \subseteq \Omega \), allora per ogni \( z \in B_{r_{0}}(z_{0}) \) ( \(z_{0} \) compreso) la funzione \( f(z) \) è esprimibile tramite il suo sviluppo di Taylor.
Adesso, la domanda che vi pongo è: se una funzione \( f(z) \) ha una singolarità in un punto \( z_{0} \), è esprimibile in tale punto tramite la sua serie di Taylor centrata in quel punto?
Noto che in molti esercizi si usa esprimere funzioni che hanno delle singolarità in certi punti come serie di Taylor centrate in tali punti, con estrema superficialità e noncuranza e senza un minimo di motivazione teorica.
Per esempio, in un esercizio mi si richiede di dimostrare che la funzione \( f(z) = cos ( \frac{1}{z} ) \) ha una singolarità essenziale nel punto \( z_{0} = 0 \) e, nello svolgimento che si trova nella soluzione, si parte proprio scrivendo la serie di Taylor di \( cos(w) \), con \( w=\frac{1}{z} \)... ma in questo caso come faccio a giustificare che \( f(z) = cos ( \frac{1}{z} ) = \text{" Serie di Taylor di } cos ( \frac{1}{z} ) \text{ centrata nel punto } z_{0} = 0 \text{ "} \) se in tale punto la derivata della funzione non esiste, e quindi in tale punto non è neanche analitica??
o meglio...
è teoricamente corretto affermare che
\( f(z) = cos(\frac{1}{z}) = \Sigma ^{\infty} _{n=0} (-1)^{n} \frac{(\frac{1}{z})^{2n}}{(2n)!} \) in un intorno di \( z_{0} = 0 \)?
Risposte
"Rino95":No. È per quello che hanno inventato le serie di Laurent.
Adesso, la domanda che vi pongo è: se una funzione \( f(z) \) ha una singolarità in un punto \( z_{0} \), è esprimibile in tale punto tramite la sua serie di Taylor centrata in quel punto?
si parte proprio scrivendo la serie di Taylor di \( cos(w) \), con \( w=\frac{1}{z} \)... ma in questo caso come faccio a giustificare che \( f(z) = cos ( \frac{1}{z} ) = \text{" Serie di Taylor di } cos ( \frac{1}{z} ) \text{ centrata nel punto } z_{0} = 0 \text{ "} \) se in tale punto la derivata della funzione non esiste, e quindi in tale punto non è neanche analitica??
o meglio...
è teoricamente corretto affermare che
\( f(z) = cos(\frac{1}{z}) = \Sigma ^{\infty} _{n=0} (-1)^{n} \frac{(\frac{1}{z})^{2n}}{(2n)!} \) in un intorno di \( z_{0} = 0 \)?
Questa è proprio l'idea delle serie di Laurent.
Giustramente... scusa la mia insistenza ma ti chiedo un altro po' di pazienza, perché tutto questo non mi è ancora abbastanza chiaro.
Se \( f \) è analitica in un anello \( \Omega = \{z \in \mathbb{C} : r_{1} \leq |z - z_{0}| \leq r_{2} \} \), con \( z_{0} \in \mathbb{C} \) e \( 0 \leq r_{1} \leq r_{2}\) (in questo caso prendiamo \( z_{0} = 0 \) ed \( r_{1} = 0 \) ), allora, per ogni \( z \in \Omega \), \( f(z) \) è esprimibile come:
\( f(z) = \Sigma ^{+\infty} _{-\infty} c_{n} (z-z_{0}) ^ n \) ,
dove i coefficienti \( c_{n} \) della serie sono tali che \( c_{n} = \frac{1}{2 \pi i} \int _{C} \frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1} } dz \).
Quindi, dire che
\( \Sigma ^{\infty} _{n=0} (-1)^{n} \frac{(\frac{1}{z})^{2n}}{(2n)!} = \Sigma ^{+\infty} _{n=-\infty} \frac{cos^{(n)} (\frac{1}{z})}{n!} (z-z_{0})^{n}\)
è la serie di Laurent di \( f(z) = cos(\frac{1}{z}) \), significa dire che \( c_{n} = \frac{cos^{(n)} (\frac{1}{z})}{n!} \), per ogni \(z \in \Omega \) e per ogni \( n \in \mathbb{N} \)...
Ma come faccio a dimostrare che questa cosa è vera e valida? Esiste un modo per dimostrare che i coefficienti \( c_{n} \) della serie di Laurent di \( cos (\frac{1}{z}) \) sono proprio quelli (identici a quelli della serie di Taylor di \( cos(\frac{1}{z}) \) "centrata" in \( \frac{1}{z} \))??
Se \( f \) è analitica in un anello \( \Omega = \{z \in \mathbb{C} : r_{1} \leq |z - z_{0}| \leq r_{2} \} \), con \( z_{0} \in \mathbb{C} \) e \( 0 \leq r_{1} \leq r_{2}\) (in questo caso prendiamo \( z_{0} = 0 \) ed \( r_{1} = 0 \) ), allora, per ogni \( z \in \Omega \), \( f(z) \) è esprimibile come:
\( f(z) = \Sigma ^{+\infty} _{-\infty} c_{n} (z-z_{0}) ^ n \) ,
dove i coefficienti \( c_{n} \) della serie sono tali che \( c_{n} = \frac{1}{2 \pi i} \int _{C} \frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1} } dz \).
Quindi, dire che
\( \Sigma ^{\infty} _{n=0} (-1)^{n} \frac{(\frac{1}{z})^{2n}}{(2n)!} = \Sigma ^{+\infty} _{n=-\infty} \frac{cos^{(n)} (\frac{1}{z})}{n!} (z-z_{0})^{n}\)
è la serie di Laurent di \( f(z) = cos(\frac{1}{z}) \), significa dire che \( c_{n} = \frac{cos^{(n)} (\frac{1}{z})}{n!} \), per ogni \(z \in \Omega \) e per ogni \( n \in \mathbb{N} \)...
Ma come faccio a dimostrare che questa cosa è vera e valida? Esiste un modo per dimostrare che i coefficienti \( c_{n} \) della serie di Laurent di \( cos (\frac{1}{z}) \) sono proprio quelli (identici a quelli della serie di Taylor di \( cos(\frac{1}{z}) \) "centrata" in \( \frac{1}{z} \))??
Ma si, ti stai perdendo in un bicchiere d'acqua. Per le serie di Laurent c'è un teorema di unicità uguale a quello delle serie di Taylor, quindi non importa come tu trovi i coefficienti, una volta che li hai trovati sono quelli e non possono essere altri. E difatti questo si riflette in varie formule per questi coefficienti, che sono importanti (specialmente $c_{-1}$) per il teorema dei residui. Ci sono delle formule con le derivate, quella che hai citato tu con un integrale, gli sviluppi notevoli... Volta per volta usa la cosa che ti viene più comoda.
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