Funzioni sommabili?
Salve a tutti, mi è sorto un dubbio sulle funzioni sommabili. Dire che una funzione è di $ L_1(a,b) $ significa che essa è sommabile in $ (a,b) $ . Dire invece che è di $ L_(1loc)(a,b) $ significa che è sommabile in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $ (a,b) $ , giusto?
Quindi se dico che la funzione è di $ L_1(R) $ , allora $ L_(1loc)(R) $ significa che la funzione è sommabile in tutto il campo dei numeri reali R, esclusi gli estremi $ -oo $ e $ +oo $?
Quindi se dico che la funzione è di $ L_1(R) $ , allora $ L_(1loc)(R) $ significa che la funzione è sommabile in tutto il campo dei numeri reali R, esclusi gli estremi $ -oo $ e $ +oo $?
Risposte
Ciao Omi,
Ogni funzione sommabile (globalmente) nell'insieme aperto $ \Omega $ è localmente sommabile, cioè:
$L^1 (\Omega ) \subset L_{loc}^1 (\Omega) $
Puoi dare un'occhiata ad esempio qui o meglio ancora alla versione inglese qui.
Ogni funzione sommabile (globalmente) nell'insieme aperto $ \Omega $ è localmente sommabile, cioè:
$L^1 (\Omega ) \subset L_{loc}^1 (\Omega) $
Puoi dare un'occhiata ad esempio qui o meglio ancora alla versione inglese qui.
Ciao pillo grazie, se invece dico $ L_(1loc)(R) $ cosa significa? Poi ad esempio sull'articolo in Italiano di Wikipedia, nella sezione Esempi, dice che le funzioni costanti sono localmente sommabili ma non sommabili, perchè?
Beh, $\Omega $ è un insieme aperto, quindi nulla vieta che possa essere $\Omega = \RR $
Se osservi bene la definizione, dovrebbe esserti chiaro che le funzioni costanti sono sommabili in qualsiasi compatto $K \subset \RR $ (per esempio in $[a,b] \subset \RR $), ma non lo sono in $\RR $.
Se osservi bene la definizione, dovrebbe esserti chiaro che le funzioni costanti sono sommabili in qualsiasi compatto $K \subset \RR $ (per esempio in $[a,b] \subset \RR $), ma non lo sono in $\RR $.
Ok Pillo sulle costanti mi è chiaro.
Sulle funzioni $ L_(1loc)(R) $ invece prendendo per esempio le funzioni costanti che sono appunto di
$ L_(1loc)(R) $, posso dire che allora tutte le funzioni $ L_(1loc)(a,b) $ sono sommabili in tutti gli intervalli compatti esclusi gli estremi $ (a,b) $? Mentre le funzioni $ L_1(a,b)
$ posso dire che sono sommabili in tutto l'intervallo $ [a,b] $ compresi quindi anche gli estremi?
Sulle funzioni $ L_(1loc)(R) $ invece prendendo per esempio le funzioni costanti che sono appunto di
$ L_(1loc)(R) $, posso dire che allora tutte le funzioni $ L_(1loc)(a,b) $ sono sommabili in tutti gli intervalli compatti esclusi gli estremi $ (a,b) $? Mentre le funzioni $ L_1(a,b)
$ posso dire che sono sommabili in tutto l'intervallo $ [a,b] $ compresi quindi anche gli estremi?
Dalle domande che fai si capisce che non stai studiando la teoria. Temo che tu neanche abbia un libro. Mi sbaglio? Purtroppo studiare come tu stai facendo è il modo migliore per confondersi le idee
Ciao dissonance, sto studiando da appunti del professore. Però sugli appunti è scritto che una funzione è di $ L_(1loc)(a,b) $ quando è sommabile in ogni sotto intervallo compatto e non dice agli estremi dell'intervallo cosa succede.
É una definizione, mi pare sia abbastanza completa. Ad esempio, la funzione \(f(x)=1/x\) è in \(L^1_{\mathrm{loc}}(0, 1)\). Questo è un buon esempio su cui ragionare.
Correggimi se sbaglio, ma questa funzione, non è sommabile solo nel punto 0. Quindi significa che è sommabile in tutti sotto intervalli compatti, compresi gli intervalli $ [kappa ,1] $ con $ kappa in (0,1) $ giusto? Quindi anche l'estremo 1 è compreso.
Si, volendo potresti scrivere \(L^1_{\mathrm{loc}}((0, 1])\) ma non è un caso previsto dalla tua definizione. Nella definizione che ti è stata data c'è un intervallo aperto. Quello è il caso più importante.
Adesso mi è chiaro, grazie mille dissonance.
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