Funzione polidroma con log

[Maxandri1]

Devo risolvere
\[\int_{0}^{\infty } \frac{LogX}{(1+x^3)}dx\]
Essendoci un log lo affronto come funzione polidroma.
Per trovare i residui vedo che ho tre poli semplici in Pi/e, -1, 5/3pi e applico le consuete formule sui residui (ma la soluzione mi dice che ho un solo polo in Pi/3!!!)
Poi sul cammino di integrazione ottengo \[f(re^{i(2\pi -\vartheta)}))= log(\frac{re^{i(2\pi -\vartheta)})}{re^{3i(2\pi -\vartheta)})})\] che per theta che va a 0 mi dà lo stesso risultato di \[f(re^{i(\vartheta)})\]
Qualcosa non mi torna.
Il risultato è \[\frac{-2\pi ^2}{27}\]
Grazie

[anonymous_0b37e9]

Intanto, dovresti integrare in senso antiorario lungo il percorso chiuso sottostante (l'angolo al centro vale 120°):


Quindi, dopo aver dimostrato che i contributi dovuti ai due archi tendono a zero (piccolo e grande cerchio), calcolare il solo residuo interno e il seguente integrale:

$[\int_{0}^{+oo}1/(1+x^3)dx=(2sqrt3)/9\pi]$

Tra l'altro, almeno in questo caso, la presenza di una funzione polidroma è irrilevante, visto che il percorso di cui sopra giace sul medesimo foglio di Riemann. Piuttosto, è l'implicazione sottostante:

$[z=te^(i2/3\pi)] rarr [z^3=t^3] ^^ [logz=logt+i2/3\pi]$

a giustificare la scelta del segmento obliquo. Anche se non ti mostro tutti i calcoli perché piuttosto laboriosi, il risultato finale è quello corretto.

[Maxandri1]

Grazie Sergeant,
fammi capire meglio.
Perchè ti fermi a 120° e non a 180° come mi sembra mi fa con Jordan?
Mi sembra che ci siano 3 poli, in pi/e, in -1 e in 5/3pi. Giusto? Come trovo\[e^{i2/3\pi }\]?
Dal calcolo dei residui hai eliminato logx, perchè?
E' possibile ricevere i calcoli tramite foto su whataspp o via email?
Ti ringrazio.

[anonymous_0b37e9]

Intanto:

$\int_{r}^{R}logx/(1+x^3)dx+\int_{C_R}f(z)dz+e^(i(2\pi)/3)\int_{R}^{r}(logx+i(2\pi)/3)/(1+x^3)dx+\int_{C_r}f(z)dz=2\piiRes[e^(i\pi/3)] rarr$

$rarr (1-e^(i(2\pi)/3))\int_{r}^{R}logx/(1+x^3)dx-i(2\pi)/3e^(i(2\pi)/3)\int_{r}^{R}1/(1+x^3)dx+\int_{C_R}f(z)dz+\int_{C_r}f(z)dz=2\piiRes[e^(i\pi/3)]$

Inoltre, passando al limite:

1. Per il teorema del piccolo cerchio: $[lim_(r->0^+)\int_{C_r}f(z)dz=0]$

2. Per il teorema del grande cerchio: $[lim_(R->+oo)\int_{C_R}f(z)dz=0]$

3. Mediante il calcolo esplicito: $[lim_(r->0^+)lim_(R->+oo)\int_{r}^{R}1/(1+x^3)dx=\int_{0}^{+oo}1/(1+x^3)dx=(2sqrt3)/9\pi]$

Quindi:

$\int_{0}^{+oo}logx/(1+x^3)dx=(2\piiRes[e^(i\pi/3)]+i(4sqrt3)/27\pi^2e^(i(2\pi)/3))/(1-e^(i(2\pi)/3))$

Infine, calcolando il residuo:

$Res[e^(i\pi/3)]=lim_(z->e^(i\pi/3))logz/((z-e^(i\pi/3))(z+1)(z-e^(i(5\pi)/3)))(z-e^(i\pi/3))=(i\pi/3)/((e^(i\pi/3)+1)(e^(i\pi/3)-e^(i(5\pi)/3)))$

e svolgendo un po' di conti, si ottiene il risultato voluto:

$\int_{0}^{+oo}logx/(1+x^3)dx=(2\pii(i\pi/3)/((e^(i\pi/3)+1)(e^(i\pi/3)-e^(i(5\pi)/3)))+i(4sqrt3)/27\pi^2e^(i(2\pi)/3))/(1-e^(i(2\pi)/3))=-2/27\pi^2$

Giova sottolineare che la scelta del percorso chiuso dipende dal problema. Se si chiude mediante quel segmento obliquo (il percorso chiuso contiene un solo polo):

$[z=xe^(i(2\pi)/3)] rarr [z^3=x^3] ^^ [logz=logx+i(2\pi)/3] ^^ [dz=e^(i(2\pi)/3)dx]$

è possibile ridurre il suo contributo al calcolo di un integrale identico a quello incognito (moltiplicato per una costante) e al calcolo di un altro integrale (in pratica, un altro esercizio più semplice):

$e^(i(2\pi)/3)\int_{R}^{r}(logx+i(2\pi)/3)/(1+x^3)dx=-e^(i(2\pi)/3)\int_{r}^{R}logx/(1+x^3)dx-i(2\pi)/3e^(i(2\pi)/3)\int_{r}^{R}1/(1+x^3)dx$


Si potrebbe riassumere dicendo che la scelta è dettata dalla seguente proprietà:

$[z=xe^(i(2\pi)/3)] rarr [z^3=x^3]$

[Maxandri1]

Grazie mille per il tempo che hai speso per scrivere tutte quei passaggi. Il problema grosso era capire da dove saltava fuori quel 2/3 Pi, Ora è chiaro grazie.
Se hai ancora un po' di pazienza, questo integrale da dove salta fuori\[\int_{0}^{\infty } \frac{1}{1+x^3}= \frac{2\sqrt{3}}{9}\pi\], lo hai risolto con i residui in -1 e in pi/3? A me non mi viene fuori ma forse perchè ho fatto qualche errore di calcolo. Ho trovato questo http://www.****.it/forum/analisi-1/1 ... -11x3.html ma non credo c'entri con i nostri esercizi perchè altrimenti andrebbe tutto a infinito.
Grazie ancora.

[Maxandri1]

Un ulteriore conferma. quando ho \[e^{\pi/3 }\] o espressioni simili con e^ per fare i calcoli sostituisco sempre con \[\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\] giusto?

[anonymous_0b37e9]

Premesso che, per il criterio del confronto asintotico, quell'integrale è senz'altro convergente:

$lim_(x->+oo)(1/(1+x^3))/(1/x^3)=lim_(x->+oo)x^3/(1+x^3)=1$

risulta:

$lim_(M->+oo)\int_{0}^{M}1/(1+x^3)dx=$

$=lim_(M->+oo)[1/3log(x+1)-1/6log(x^2-x+1)+sqrt3/3arctg((2sqrt3)/3x-sqrt3/3)]_0^M=$

$=lim_(M->+oo)1/3log(M+1)-1/6log(M^2-M+1)+sqrt3/3arctg((2sqrt3)/3M-sqrt3/3)+sqrt3/18\pi=$

$=lim_(M->+oo)1/6log(M+1)^2-1/6log(M^2-M+1)+sqrt3/3arctg((2sqrt3)/3M-sqrt3/3)+sqrt3/18\pi=$

$=lim_(M->+oo)1/6log((M^2+2M+1)/(M^2-M+1))+sqrt3/3arctg((2sqrt3)/3M-sqrt3/3)+sqrt3/18\pi=$

$=sqrt3/6\pi+sqrt3/18\pi=(2sqrt3)/9\pi$

"Maxandri":
... quando ho $e^(i\pi/3)$ o espressioni simili ...

Tipicamente sì.

[Maxandri1]

mamma quanti calcoli! Cmq ok, grazie.
Posto un altro esercizio simile in altro messaggio, se puoi rispondermi. Grazie