Funzione olomorfa, identicamente nulla.

[Studente Anonimo]

Non ho idea alcuna di come dimostrare quanto segue
Sia \( f : \mathbb{D} \to \mathbb{C} \) olomorfa in \( \mathbb{D} \) (il disco unitario aperto) tale che \( f(e^{it})e^{it/2} \in \mathbb{R} \) per ogni \( t \in [0,2\pi] \). Dimostra che \( f \equiv 0 \).
In primo luogo penso che la funzione dovrebbe essere \( f : \overline{D(0,1)} \to \mathbb{C} \) e olomorfa in \( \mathbb{D} \) altrimenti potrebbe non avere senso \( f(e^{it}) \). Correggetemi se sbaglio.

Comunque non nessuna idea.

[Quinzio]

Da controllare

Correggetemi se sbaglio.

Hai ragione, ma il "senso" del problema rimane.
Se dal disco unitario passiamo al disco di raggio 2 aperto, va tutto a posto.

Il discorso qui e' che $f(t)$ deve contenere il coniugato complesso, che non da una funzione olomorfa.

Ossia: $f(z)$ con $z = e^{it}$ che si "muove" sulla circonferenza unitaria deve essere del tipo $g(t) sqrt(\bar z)$, con $g(t) \in RR$, in modo che quando sia moltiplicata per $e^{it/2} = sqrt(z)$ dia un numero reale.

Quindi $f(t)$ non e' olomorfa, a meno che non sia banalmente nulla ovunque.

[dissonance]

@Quinzio: qualche idea c'è, ma non mi pare che questa sia una dimostrazione. La \(f\) potrebbe essere "del tipo \(g(t)\frac{1}{\sqrt{z}}\)", come dici tu, e lo stesso darebbe un numero reale senza dipendere da \(\overline z\). Come fai ad escludere questa eventualità?

Una possibilità è questa. Abbiamo detto che
\[
f(z)=\frac{g(z)}{\sqrt z}, \]
dove \(g\) è una funzione olomorfa. Ma sul disco unitario, \(g\) deve assumere valori reali, e questo implica che \(g\) è costante (https://math.stackexchange.com/question ... n-z-1-then). E quindi \(g=0\), perché altrimenti ci sarebbe una singolarità in \(z=0\).

Questa ancora non è una dimostrazione rigorosa, però. Chissà se ci stiamo avvicinando.

[Quinzio]

Ok dissonance. Grazie per la nota.
Siccome il post serve prima di tutto a chi ha fatto la domanda, metto la mia risposta sotto spoiler.

Mi ero basato sul fatto che

\( f(e^{it})e^{it/2} \in \mathbb{R} \)

Secondo me i casi sono 2, o la fase di $f(e^{it})$ e' opposta a $e^{it/2}$ oppure $f(e^{it}) = 0$.
Altri casi non ne vedo, ma sbagliero' qualcosa, non so.

[dissonance]

Ciao Quinzio, non ho mica detto che sbagli, anzi, credo che la tua sia una buona idea. Contesto solo che, secondo me, non è sufficiente a concludere la dimostrazione.

[Studente Anonimo]

Grazie delle risposte, ecco come ho fatto io con i vostri spunti, mi manca solo un passaggio che non riesco a capire. Supponendo che il problema richieda \( f \) definita su \( \overline{D(0,1)} \) ma analitica su \( D(0,1) \) e quindi non necessariamente analitica sul bordo, devo dimostrare che \( f \) continua sul bordo. In tal caso penso che quanto segue regge:

Sia \( \phi: \mathbb{D} \to \mathbb{C} \) una funzione olomorfa sul disco unitario aperto. Allora \( \forall r < 1 \) abbiamo che
\[ \phi(z) = \frac{1}{2\pi i } \int_{\left| \xi - z \right| = r} \frac{\phi(\xi)}{\xi - r } d\xi = \frac{1}{2\pi i } \int_{0}^{2 \pi} \frac{\phi(z + re^{i\theta}) ire^{i\theta}}{re^{i\theta}} d\theta = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2 \pi} \phi(z + re^{i\theta}) d\theta\]

Ora sia \( \phi \) una funzione non costante \( \phi: \overline{D(0,1)} \to \mathbb{C} \) olomorfa in \( \mathbb{D} \) e continua su \( \partial \mathbb{D} \) e tale che \( \forall \omega \in \partial \mathbb{D} \) risulta \( \left| \phi ( \omega ) \right| \leq M \) con \( M \in \mathbb{R} \) allora risulta che \( \forall \left| z \right| < 1 \) abbiamo \( \left| \phi(z) \right| \leq \left| \phi(\omega) \right| \), per qualche \( \omega \in \partial \mathbb{D} \).
Abbiamo che,
\[ \left| \phi(z) \right| = \left| \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2 \pi} \phi(z + re^{i\theta}) d\theta \right| \leq \max_{\omega \in \partial \mathbb{D} } \left| \phi(\omega) \right| = M \]

Pertanto con \( r \leq 1 \), e ponendo \( g(re^{it})= f(re^{it})re^{it/2} \), e ponendo \( h_+(z)= e^{i g(z)} \) e \( h_-(z)= e^{-ig(z)} \) abbiamo che \( \left| h_+(e^{it}) \right| = 1 \) e \( \left| h_-(e^{it}) \right| = 1 \) pertanto per tutti i \( z \) tale che \( \left| z \right| < 1 \) risulta che
\( \left| h_+(z) \right| \leq 1 \) e \( \left| h_-(z) \right| \leq 1 \) ma \( h_+(z)= \frac{ 1}{ h_-(z)} \) pertanto
\[ 1 \leq \left| \frac{ 1}{ h_-(z)} \right| =\left| h_+(z) \right| \leq 1 \]
Dunque \( h_+ \) e \( h_- \) sono costanti e valgono 1. Pertanto \( g(z) = 2 \pi k \) è costante (siccome analitica), con \( k \in \mathbb{Z} \) fissato.
Se \( k \neq 0 \) e siccome \( e^{it/2} \) non è costante abbiamo \( f(e^{it})=2\pi k e^{-it/2}\) per tutti i \( t \in [0,2\pi] \), ma dunque \( f \) non olomorfa siccome il coniugato non è olomorfo.

Pertanto \( k = 0 \). E questo implica che \( f \equiv 0 \) sul bordo. Per prolungamento analitico \( f \equiv 0 \) anche su \( \mathbb{D} \) siccome se non fosse nulla allora avremmo un salto di discontinutià.

Cosa ne pensate?

[dissonance]

È un po' confuso, faccio fatica a seguirti. Dove usi l'ipotesi?

[Studente Anonimo]

"dissonance":È un po' confuso, faccio fatica a seguirti. Dove usi l'ipotesi?

Probabilmente è confuso perché sono io confuso
Cerco comunque di spiegarmi meglio: mi manca di dimostrare che \( f \) continua sul bordo, ma se lo fosse allora:

"3m0o":
Pertanto con \( r \leq 1 \), e ponendo \( g(re^{it})= f(re^{it})re^{it/2} \), e ponendo \( h_+(z)= e^{i g(z)} \) e \( h_-(z)= e^{-ig(z)} \) abbiamo che \( \left| h_+(e^{it}) \right| = 1 \) e \( \left| h_-(e^{it}) \right| = 1 \)

Qui uso il fatto che \( g(re^{it})= f(re^{it})re^{it/2} \) è reale sul bordo.

"3m0o":
pertanto per tutti i \( z \) tale che \( \left| z \right| < 1 \) risulta che
\( \left| h_+(z) \right| \leq 1 \) e \( \left| h_-(z) \right| \leq 1 \) ma \( h_+(z)= \frac{ 1}{ h_-(z)} \) pertanto
\[ 1 \leq \left| \frac{ 1}{ h_-(z)} \right| =\left| h_+(z) \right| \leq 1 \]
Dunque \( h_+ \) e \( h_- \) sono costanti e valgono 1. Pertanto \( g(z) = 2 \pi k \) è costante (siccome analitica), con \( k \in \mathbb{Z} \) fissato.
Se \( k \neq 0 \) e siccome \( e^{it/2} \) non è costante abbiamo \( f(e^{it})=2\pi k e^{-it/2} \) per tutti i \( t \in [0,2\pi] \), ma dunque \( f \) non olomorfa siccome il coniugato non è olomorfo.

Qui siccome \( g \) è analitica sul disco unitario aperto (poiché moltiplicazione di due funzioni analitiche sul disco unitario aperto) abbiamo che \( g \) dev'essere costante, infatti se non fosse costante avremmo che \( h_+(z) = e^{i g(z)} =1\) per tutti i \( z \) sul disco unitario aperto e quindi \( g \) può assumere solo valori che sono multipli di \( 2 \pi \) e pertanto è discontinua e dunque non analitica.

"3m0o":
Pertanto \( k = 0 \). E questo implica che \( f \equiv 0 \) sul bordo. Per prolungamento analitico \( f \equiv 0 \) anche su \( \mathbb{D} \) siccome se non fosse nulla allora avremmo un salto di discontinutià.

Cosa ne pensate?

Quindi siccome \( g \equiv 0 \), abbiamo che \(f \equiv 0 \).

[dissonance]

È tutto oggi che cercavo di postare ma purtroppo c'era un problema tecnico e il mio messaggio si è perso. Tra le altre cose, volevo dire che non è vero che g è analitica.

[dissonance]

Ho recuperato il messaggio che si era perso:


Mi pare che tu faccia prima una digressione, dove ridimostri il principio del massimo modulo, ma poi spendi pochissime parole proprio sul passaggio cruciale: le funzioni \(h_\pm(z)\). E' una buona idea studiare queste due funzioni, ma perché dovrebbero essere olomorfe? E se non lo sono, perché dovrebbero verificare \(\lvert h_\pm (z)\rvert \le 1\)?

[Studente Anonimo]

"dissonance":È tutto oggi che cercavo di postare ma purtroppo c'era un problema tecnico e il mio messaggio si è perso. Tra le altre cose, volevo dire che non è vero che g è analitica.

Ma scusa \(g \) non è prodotto di due funzioni analitiche sul disco aperto e quindi analitica?

Comunque, chiedendo all'assistente oggi, la funzione è definita sul bordo \(\partial \mathbb{D} \) e analitica solo \( \mathbb{D} \).
\[ \oint_{\partial \mathbb{D}} f^2(z) dz = 0 \] e ponendo \( z = e^{it} \)
\[ \int_{0}^{2 \pi } i e^{it} f^2(e^{it})dt=i \int_{0}^{2 \pi } e^{it} f^2(e^{it})dt=0 \]
e siccome \( e^{it/2} f(e^{it})\in \mathbb{R}\) abbiamo che \( e^{it} f^2(e^{it}) \in \mathbb{R}_+ \) pertanto \( f(e^{ it}) =0 \forall t \in \mathbb{R}\).
L'unica cosa è che non capisco bene è perché posso usare il principio degli zeri isolati per afferma che allora è identicamente nulla sul disco aperto. La funzione non è analitica sul bordo, come faccio a dedurre che è zero ovunque?

Edit: Secondo me gli zeri isolati non si possono usare, ma utilizzerei uno di questi 3 modi qui di seguito:
Per i quali ho un dubbio
1)
Per la formula integrale di Cauchy e \( \forall z \in \mathbb{D} \) abbiamo
\[ f(z) = \oint_{\partial \mathbb{D}} \frac{f(\xi)}{\xi-z} d\xi = \oint_{\partial \mathbb{D}} 0 d\xi=0 \]

Dubbio: la formula è valida anche integrando su \( \partial \mathbb{D} \) perché posso avvicinarmi arbitrariamente al bordo, nonostante sia anlitica solo su \( \mathbb{D} \), è corretto ?
2)
Per il principio dei massimi posso affermarere che se \( f(z) \neq 0 \) su \( \forall z \in D(z_0,r) \subset \mathbb{D} \) allora esiste \( \omega \in D(z_0,r) \) tale che \( \left| f(\omega) \right| \) è un massimo locale siccome su \( \partial\mathbb{D} \) si annulla e quindi è costante e quindi nulla perché si annulla sul bordo.

Dubbio: posso affermare che è un massimo locale? Magari la funzione effettivamente non ha massimi locali all interno del disco aperto e siccome non è analitica sul bordo il principio dei massimi non è contradetto.
3)
Supponiamo \( f(z) \neq 0 \) su \(\forall z\in D(z_0,r) \subset \mathbb{D} \), senza perdità di generalità possiamo supporre \( z_0 = 0 \), ponendo sul disco aperto \[ f(x) = \sum_n a_n z^z \]
Abbiamo che \( \forall z \in D(0,r) \)
\[ \left|f(z)\right|^2 = \left| \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n z^{n} \right|^2 \leq \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left| a_n \right|^2 r^{2n} = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \left| f(re^{it}) \right|^2 dt \]
E siccome è vero anche con \( r \) arbitrariamente vicino ad \( 1 \) abbiamo che con \( r \to 1 \)
\[ \left|f(z)\right|^2 \leq \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \left| f(e^{it}) \right|^2 dt = 0 \]
Pertanto abbiamo che che \( f(z) = 0\) \( \forall z \in D(0,r) \) e e per il principio degli zeri isolati abbiamo che \( f \equiv 0 \) su \( \mathbb{D} \).

Dubbio: il medesimo del 1)

[dissonance]

Quanto alla \(g\), tu la definisci solo sul bordo, come
\[
g(e^{it})=f(e^{it})e^{it/2}, \]
e non nell'interno del disco. Quindi non è chiaro come prolungarla ad una funzione analitica nell'interno.

Comunque mi piace molto la soluzione dell'assistente. La tua idea 1 funziona perfettamente. Puoi anche usare il principio del massimo modulo, se preferisci.

[Studente Anonimo]

"3m0o":
Pertanto con \( r \leq 1 \), e ponendo \( g(re^{it})= f(re^{it})re^{it/2} \)

Non l'ho definita solo sul bordo

"dissonance": La tua idea 1 funziona perfettamente. Puoi anche usare il principio del massimo modulo, se preferisci.

Quindi posso tranquillamente usare la formula integrale di Cauchy sul bordo nonostante non sia analitica sul bordo?
Pertanto anche la 3) funziona?

"dissonance":
Comunque mi piace molto la soluzione dell'assistente.

Si anche a me è piaciuta molto! In realtà il problema originale era il suddetto
Sia \( f: \mathbb{H} \to \mathbb{C} \) analitica sul semi-piano \( \mathbb{H} = \{ z : \Im(z)\geq 0 \} \) e tale che
\( f(z) \in e^{- i \pi/4} \mathbb{R} \) se \( z \in \mathbb{R} \) e tale che \( \int_{\mathbb{R} } \left| f(z) \right|^2 dz < \infty \), dimostra che \( f \equiv 0 \).

Però l'assistente si è accorto in seguito che questa condizione \( \int_{\mathbb{R} } \left| f(z) \right|^2 dz < \infty \) non è sufficiente ma che doveva richiedere \( \int_{\mathbb{C} } \left| f(z) \right|^2 dz < \infty \) per evitare che non ci siano residui all'infinito (o singolarità all infinito, non ricordo), ma siccome non abbiamo ancora visto cosa vuol dire \( \int_{\mathbb{C}} \), ne tanto meno cosa siano i residui, ha corretto l'esercizio. Oppure poteva richidere che \( \left| f(z) \right| < \frac{1}{\left| z \right|^{1+ \alpha}} \)
E mi ha spiegato che fondamentalmente è lo stesso esercizio difatti usando una trasformazione di Möbius puoi trasfromare il disco unitario \( \mathbb{D} \) in \( \mathbb{H} \) conservando gli angoli e la condizione \( f(e^{it})e^{it/2} \in \mathbb{R} \) si trasforma in \( f(z) \in e^{- \pi/4} \mathbb{R} \) se \( z \in \mathbb{R} \).
Questa ultima cosa mi perplime. Infatti dire \( f(z) \in e^{- \pi/4} \mathbb{R} \) equivale a dire \( f(z)e^{i \pi/4} \in \mathbb{R} \). Ora sul disco abbiamo \( f(e^{it})e^{it/2} \in \mathbb{R} \) e chiaramente \( e^{it} \) sta sul bordo di \( \mathbb{D} \) e rispettivamente \( f(z) \) con \( z \in \mathbb{R} \) sta sul bordo di \( \mathbb{H} \), mentre non capisco come mai \( e^{it/2} \) si trasforma in \( e^{i \pi/4}\), difatti \( e^{it/2} \) sta sulla normale uscende dal bordo mentre la normale uscente in \( \mathbb{H} \) è \( e^{- i \pi/2}\).

[dissonance]

"3m0o":[quote="3m0o"]
Pertanto con \( r \leq 1 \), e ponendo \( g(re^{it})= f(re^{it})re^{it/2} \)

Non l'ho definita solo sul bordo [/quote]
Ah è vero. Ma la funzione \(re^{it}\mapsto r e^{it/2}\) è analitica? Tu sei proprio sicuro? Secondo me no. Quella è la determinazione principale della radice quadrata, che non è continua sulla semiretta dei reali negativi. È questo il problema che ho sempre visto nel tuo approccio iniziale.

[Studente Anonimo]

"dissonance":
Ah è vero. Ma la funzione \( re^{it}\mapsto r e^{it/2} \) è analitica? Tu sei proprio sicuro? Secondo me no. Quella è la determinazione principale della radice quadrata, che non è continua sulla semiretta dei reali negativi. È questo il problema che ho sempre visto nel tuo approccio iniziale.

Mi ero dimenticato:

Sia \(z \mapsto f(z)=z^{1/2} \) abbiamo che
\[ \oint_{D(0,R)} f(z) dz= \int_{0}^{2 \pi} iRe^{it} Re^{it/2} dt = iR^2 \int_{0}^{2 \pi}e^{3it/2} dt = -\frac{4R^2}{3} \neq 0\]
Per morera concludiamo che non è analitica!
Avevi ragione.