Funzione olomorfa, definizione
Sera a tutti,
avrei un dubbio legato alla definizione di funzione olomorfa:
1)
Una f è olomorfa in $A$ (aperto) contenuto in $CC$ se f(z) è olomorfa per ogni $z\inE$
f è olomorfa in $z_0$ se esiste un cerchio di z0 tale che $f(z)$ derivabile per ogni z all'interno di tale cerchio
2)
f è olomorfa su un insieme se è derivabile in ogni punto del suo insieme di definizione (aperto) A. Si dice inoltre che f è olomorfa nel punto $z_0$ se è olomorfa in qualche intorno del punto.
(che poi è quella di wikipedia: https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_olomorfa )
Mi sembrano un po' diverse... infatti la prima richiede una derivabilità per ogni punto all'interno di un cerchio centrato in z0, ed è olomorfa su un insieme A se è olomorfa per ogni centro "z" che scelgo in A.
La seconda richiede $f$ che sia derivabile in ogni punto dell'insieme A (condizione per essere olomorfa su A), se poi scelgo un punto z0 in A tale percui posso definire un sottoinsieme (in particolare un intorno di centro z0) per cui in ogni punto al suo interno è derivabile, allora si parla di "olomorfa nel punto".
Grazie per gli aiuti
avrei un dubbio legato alla definizione di funzione olomorfa:
1)
Una f è olomorfa in $A$ (aperto) contenuto in $CC$ se f(z) è olomorfa per ogni $z\inE$
f è olomorfa in $z_0$ se esiste un cerchio di z0 tale che $f(z)$ derivabile per ogni z all'interno di tale cerchio
2)
f è olomorfa su un insieme se è derivabile in ogni punto del suo insieme di definizione (aperto) A. Si dice inoltre che f è olomorfa nel punto $z_0$ se è olomorfa in qualche intorno del punto.
(che poi è quella di wikipedia: https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_olomorfa )
Mi sembrano un po' diverse... infatti la prima richiede una derivabilità per ogni punto all'interno di un cerchio centrato in z0, ed è olomorfa su un insieme A se è olomorfa per ogni centro "z" che scelgo in A.
La seconda richiede $f$ che sia derivabile in ogni punto dell'insieme A (condizione per essere olomorfa su A), se poi scelgo un punto z0 in A tale percui posso definire un sottoinsieme (in particolare un intorno di centro z0) per cui in ogni punto al suo interno è derivabile, allora si parla di "olomorfa nel punto".
Grazie per gli aiuti
Risposte
In realtà si dimostra che sono equivalenti... Ma per iniziare la teoria si assume (usualmente) una definizione più forte di quello che serve.
Grazie mille mi hai tolto un grande dubbio, ma essendo novizio dei metodi matematici per la fisica, qualle delle due ritieni migliore ("più forte") per questo livello?
Buona serata
Buona serata
Aspetta un po’ però... Quelle che hai riportato sono la stessa definizione, solo scritte (entrambe male) con termini diversi.
In quello che segue $Omega subseteq CC$ è aperto ed $f:Omega-> CC$. Come noto, la funzione a valori complessi $f(z)$ di una variabile complessa $z=x+iy$ si può (canonicamente) riguardare come una funzione di $Omega$ (pensato come aperto in $RR^2$) in $RR^2$, i.e. come una trasformazione piana: ciò si fa sostituendo $z=x+iy$ in $f(z)$ e separando il reale dall’immaginario. Si ottiene così una coppia di funzioni reali $u(x,y), v(x,y)$ delle due variabili reali $(x,y) in Omega$.
Fatta questa premessa necessaria per introdurre le notazioni, le definizioni cui mi riferivo io sono le seguenti (ordinate dalla più forte a quella più debole):
[N.B.: Qui interviene la derivata complessa di $f$, definita (come nel caso reale) quale limite finito del rapporto incrementale.
Questa definizione è, tuttavia, facilmente dimostrabile equivalente alla precedente.]
[N.B.: Questa definizione è più debole della prima, poiché il requisito “$u,v in C^1(Omega)$” è rimpiazzato dal meno stringente “$u,v in C(Omega)$ e differenziabili in $Omega$”. Infatti è noto (o dovrebbe esserlo) da Analisi II che “$u in C^1$“ implica “$u$ differenziabile”, ma in generale non vale il viceversa.]
[N.B.: Questa è più debole della precedente, poiché il requisito “$u,v$ differenziabili in $Omega$” è rimpiazzato dal meno stringente “$u,v$ derivabili in $Omega$”. Infatti è noto da Analisi II che esistono funzioni derivabili ma non differenziabili.
L’equivalenza tra questa definizione e quella iniziale è il cosiddetto Teorema di Looman–Menchoff.]
[N.B.: Questa è più debole della precedente, poiché il requisito “$f$ continua in $Omega$” è rimpiazzato dal meno stringente “$f$ localmente limitata in $Omega$”. Infatti è noto da Analisi I che ogni funzione continua è localmente limitata, ma anche che non vale il viceversa (poiché esistono funzioni localmente limitate ma non continue).
L’equivalenza di questa definizione con quella iniziale è il cosiddetto Teorema di Montel.]
Poi, se non erro, le richieste possono essere ulteriormente indebolite... Vado a memoria (il che è una cosa pessima, visto che non mi occupo di queste cose da anni), ma mi sembra di ricordare che la derivabilità si può richiedere anche solo quasi ovunque in $Omega$ e che si possano indebolire ancora di più le ipotesi su $f$.
Ma ora non trovo riferimenti, mi spiace.
Infine, per tornare a te: all’inizio è meglio usare la prima o la seconda delle definizioni che ho proposto, perché sono quelle che danno più agio nei calcoli.
In quello che segue $Omega subseteq CC$ è aperto ed $f:Omega-> CC$. Come noto, la funzione a valori complessi $f(z)$ di una variabile complessa $z=x+iy$ si può (canonicamente) riguardare come una funzione di $Omega$ (pensato come aperto in $RR^2$) in $RR^2$, i.e. come una trasformazione piana: ciò si fa sostituendo $z=x+iy$ in $f(z)$ e separando il reale dall’immaginario. Si ottiene così una coppia di funzioni reali $u(x,y), v(x,y)$ delle due variabili reali $(x,y) in Omega$.
Fatta questa premessa necessaria per introdurre le notazioni, le definizioni cui mi riferivo io sono le seguenti (ordinate dalla più forte a quella più debole):
La $f$ è olomorfa in $Omega$ se $u,v in C^1(Omega)$ (in senso reale) e se le uguaglianze:
\[ \tag{CR}
\begin{cases} u_x(x,y) = v_y(x,y) \\
u_y(x,y) = -v_x(x,y)
\end{cases}
\]
(dette condizioni di Cauchy-Riemann)[nota]Le (CR) si possono scrivere in varie salse: ad esempio, facendo intervenire le due derivate parziali di $f$ rispetto alle due variabili reali $x$ ed $y$, oppure la “derivata parziale” di $f$ rispetto a $bar(z)$... Ma, a parte possibili riscritture, la definizione proposta si legge sempre alla stessa maniera: “Una funzione è olomorfa in un aperto se: 1 è ivi di classe $C^1$ e 2 soddisfa le (CR)”.[/nota] valgono per ogni $(x,y) in Omega$.
La $f$ è olomorfa in $Omega$ se per ogni $z_0 in Omega$ esiste finito il limite complesso:
\[
\lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} =: f^\prime (z_0) \in \mathbb{C}
\]
e se la funzione $f^\prime : Omega -> CC$ è continua in $Omega$, i.e. se $f^\prime in C(Omega)$.[nota]Come nel caso reale, ciò si può esprimere anche dicendo che $f in C^1(Omega)$.[/nota]
[N.B.: Qui interviene la derivata complessa di $f$, definita (come nel caso reale) quale limite finito del rapporto incrementale.
Questa definizione è, tuttavia, facilmente dimostrabile equivalente alla precedente.]
La $f$ è olomorfa in $Omega$ se $f in C(Omega)$, se $u$ e $v$ sono differenziabili (in senso reale) in $Omega$ e se le (CR) valgono per ogni $(x,y) in Omega$.
[N.B.: Questa definizione è più debole della prima, poiché il requisito “$u,v in C^1(Omega)$” è rimpiazzato dal meno stringente “$u,v in C(Omega)$ e differenziabili in $Omega$”. Infatti è noto (o dovrebbe esserlo) da Analisi II che “$u in C^1$“ implica “$u$ differenziabile”, ma in generale non vale il viceversa.]
La $f$ è olomorfa in $Omega$ se $f in C(Omega)$ (continua rispetto alla variabile complessa), se $u$ e $v$ sono (parzialmente) derivabili in $Omega$ (rispetto alle variabili reali) e se le (CR) valgono per ogni $(x,y) in Omega$.
[N.B.: Questa è più debole della precedente, poiché il requisito “$u,v$ differenziabili in $Omega$” è rimpiazzato dal meno stringente “$u,v$ derivabili in $Omega$”. Infatti è noto da Analisi II che esistono funzioni derivabili ma non differenziabili.
L’equivalenza tra questa definizione e quella iniziale è il cosiddetto Teorema di Looman–Menchoff.]
La $f$ è olomorfa in $Omega$ se $f$ è limitata intorno ad ogni punto di $Omega$ (in senso complesso)[nota]Il che significa che per ogni $z_0 in Omega$ esistono un disco $D(z_0;r) subseteq Omega$ ed una costante $M>=0$ tali che $| f(z) | <= M$ per ogni $z in D(z_0;r)$.[/nota], se $u$ e $v$ sono (parzialmente) derivabili in $Omega$ (rispetto alle variabili reali) e se le (CR) valgono per ogni $(x,y) in Omega$.
[N.B.: Questa è più debole della precedente, poiché il requisito “$f$ continua in $Omega$” è rimpiazzato dal meno stringente “$f$ localmente limitata in $Omega$”. Infatti è noto da Analisi I che ogni funzione continua è localmente limitata, ma anche che non vale il viceversa (poiché esistono funzioni localmente limitate ma non continue).
L’equivalenza di questa definizione con quella iniziale è il cosiddetto Teorema di Montel.]
Poi, se non erro, le richieste possono essere ulteriormente indebolite... Vado a memoria (il che è una cosa pessima, visto che non mi occupo di queste cose da anni), ma mi sembra di ricordare che la derivabilità si può richiedere anche solo quasi ovunque in $Omega$ e che si possano indebolire ancora di più le ipotesi su $f$.
Ma ora non trovo riferimenti, mi spiace.
Infine, per tornare a te: all’inizio è meglio usare la prima o la seconda delle definizioni che ho proposto, perché sono quelle che danno più agio nei calcoli.
Gracias
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