Funzione ellittica di Weierstrass.

[Studente Anonimo]

Siano \(T_1,T_2\in \mathbb{C}^* \) tale che \( T_1/T_2 \not\in \mathbb{R} \) e sia \( \Lambda= \{k_1T_1+ k_2T_2: k_1,k_2 \in \mathbb{Z} \} \).
Ho problemi sul punto 4) di questo esercizio, non ho proprio idea di come procedere.
1) Dimostra che
\[ \sum\limits_{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\} } \frac{1}{\left| \lambda \right|^3 } < \infty \]
2) Sia \( z \in \mathbb{C} \setminus \Lambda \), dimostra che
\[ \sum\limits_{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\} } \left( \frac{1}{(z-\lambda)^2 } - \frac{1}{\lambda^2 }\right)\]
è uniformemente convergente su tutti i dischi \( \overline{D}(0,R) \)
3) Dimostra che la funzione di Weierstrass
\[ \wp_{\Lambda}(z): \frac{1}{z^2} + \sum\limits_{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\} } \left( \frac{1}{(z-\lambda)^2 } - \frac{1}{\lambda^2 }\right)\]
è bi-periodica
4) Dimostra che \( \left(\wp_{\Lambda}'(z) \right)^2 = 4 \wp_{\Lambda}^3(z) - g_2 \wp_{\Lambda}(z) - g_3 \) con
\[ g_2 = 60 \sum\limits_{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\} } \frac{1}{\lambda^4 } \]
\[ g_3 = 140 \sum\limits_{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\} } \frac{1}{\lambda^6 } \]

Allora per il punto 1) ho fatto come segue
Definiamo la superficie a forma di parallelogramma \( C_n := \{ a : a = k_1 T_1 + k_2 T_2 ; k_1,k_2 \in [-n,n] \} \) è facile verificare che \( \operatorname{card}( \Lambda \cap \partial C_n ) = 8n \) pertanto il numero di punti di \( \Lambda \cap \partial C_n \) è un \( O(n) \) e abbiamo che
\[ \sum\limits_{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\} } \frac{1}{\left| \lambda \right|^3 } = \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{\lambda \in \Lambda \cap \partial C_n } \frac{1}{\left| \lambda \right|^3 } = \lim\limits_{n \to \infty} O(\frac{n}{n^3}) = \lim\limits_{n \to \infty} O(1/n^2) = 0 \]
Pertanto converge.

Per il 2)
Sia \( z \in \overline{D}(0,R) \) e per \( \lambda \in \mathbb{C} \setminus D(0,2R) \) allora abbiamo che \( \left| 2- \frac{z}{\lambda} \right| \leq 5/2 \) e \( \left| 1- \frac{z}{\lambda} \right| \geq 1/2 \). Pertanto dopo alcuni passaggi otteniamo che
\[\left| \frac{1}{(z-\lambda)^2 } - \frac{1}{\lambda^2 } \right|= \frac{\left|z( 2- \frac{z}{\lambda} )\right|}{\left| \lambda^3 (1- \frac{z}{\lambda}) \right|} \leq \frac{10 R}{\left| \lambda \right|^3 }\]
E dunque per il punto 1) converge uniformente
Siccome su \( \Lambda \cap D(0,2R) \) possiede solo un numero finito di punti.

3) Derivando la funzione di Weierstrass otteniamo
\[ \wp_{\Lambda}'(z) = -2 \sum\limits_{\lambda \in \Lambda} \frac{1}{(z-\lambda)^3} \]
Siccome per ogni \( \mu \in \Lambda \) otteniamo che \( \mu + \lambda \in \Lambda \) abbiamo che la derivata è bi-periodica pertanto abbiamo che
\[ \frac{d}{dz} \left( \wp_{\Lambda}(z+ \mu)- \wp_{\Lambda}(z) \right) = \wp_{\Lambda}'(z+ \mu)- \wp_{\Lambda}'(z)=0 \]
Dunque la funzione \( z \mapsto \wp_{\Lambda}(z+ \mu)- \wp_{\Lambda}(z) \) è costante.
Siccome \( \forall z \in \mathbb{C} \) e \( \forall \lambda \in \Lambda \) abbiamo che \( \frac{1}{(z-\lambda)^2 } - \frac{1}{\lambda^2 } = \frac{1}{(-z+\lambda)^2 } - \frac{1}{(-\lambda)^2 } \)
In quanto per ogni \( \lambda \in \Lambda \) abbiamo che \( -\lambda \in \Lambda \)
allora risulta che \( \wp(-z)=\wp(z) \) e pertanto scegliendo \( z = -\frac{\mu}{2} \) otteniamo che
\[ \wp_{\Lambda}(\mu/2)- \wp_{\Lambda}(-\mu/2)=0 \]
Pertanto la funzione di Weierstrass è bi-periodica.

Per il 4) non ho idee.

[pilloeffe]

Ciao 3m0o,

Dai un'occhiata qui.

[dissonance]

Queste sono tutte robe della teoria delle forme modulari, ma purtroppo non ci capisco quasi niente. Sul libro "A course in arithmetic" di Serre, pag.84, c'è questo passaggio che tratta proprio del tuo punto 4, spero possa servire, anche se non c'è la dimostrazione:





La nota a pié di pagina dice: "(1) See for example Élie Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes, chap V, §2, n.5."

[Studente Anonimo]

"pilloeffe":Ciao 3m0o,

Dai un'occhiata qui.

Non capisco come applica Liouville, come fa a dire che è limitata?

[Studente Anonimo]

"3m0o":
Allora per il punto 1) ho fatto come segue
Definiamo la superficie a forma di parallelogramma \( C_n := \{ a : a = k_1 T_1 + k_2 T_2 ; k_1,k_2 \in [-n,n] \} \) è facile verificare che \( \operatorname{card}( \Lambda \cap \partial C_n ) = 8n \) pertanto il numero di punti di \( \Lambda \cap \partial C_n \) è un \( O(n) \) e abbiamo che
\[ \sum\limits_{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\} } \frac{1}{\left| \lambda \right|^3 } = \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{\lambda \in \Lambda \cap \partial C_n } \frac{1}{\left| \lambda \right|^3 } = \lim\limits_{n \to \infty} O(\frac{n}{n^3}) = \lim\limits_{n \to \infty} O(1/n^2) = 0 \]
Pertanto converge.

Tra l'altro ho sbaglio questo punto,
\[ \sum\limits_{\lambda \in \Lambda \cap \partial C_n } \frac{1}{\left| \lambda \right|^3 } = O(\frac{n}{n^3}) = O(1/n^2) \]

Pertanto
\[\sum\limits_{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\} } \frac{1}{\left| \lambda \right|^3 }= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits_{\lambda \in \Lambda \cap \partial C_n } \frac{1}{\left| \lambda \right|^3 } = \sum\limits_{n=1}^{\infty} O(1/n^2)\leq \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2}< \infty \]

[pilloeffe]

"3m0o":Tra l'altro ho sbagliato questo punto

Forse inizialmente intendevi scrivere

[tex]\sum\limits_{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\} } \frac{1}{\left| \lambda \right|^3 }= \lim_{N \to +\infty}\sum\limits_{n=1}^{N} \sum\limits_{\lambda \in \Lambda \cap \partial C_n } \frac{1}{\left| \lambda \right|^3 } = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} O(1/n^2) \leq \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} < +\infty[/tex]

Attenzione che l'ultima serie scritta naturalmente parte da $n = 1 $ e non da $n = 0 $.