Funzione derivabile.
Siano \( - \infty < a < b < +\infty \) ed \(f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}) \) e \( \gamma > 0 \) tale che
\[ \left| f(x) - f(y) \right| \leq \gamma( \left| x \right|^2 + \left| y \right|^2 ) \left| x - y \right| \]
per ogni \( x,y \in \mathbb{R} \).
Siano inoltre \( u,v \in L^3(a,b) \) e per \( \left| \epsilon \right| \leq 1 \) poniamo
\[ \Phi(\epsilon)= \int_a^b f(u(x)+\epsilon v(x) ) dx \]
dimostra che \( \Phi \) è derivabile in 0 e calcola \( \Phi'(0) \).
Io ho fatto così
In un primo luogo ho dimostrato che se \( v,u \in L^3(a,b) \) allora \( u^2v \in L^1(a,b) \) e \( f(u(x)) \in L^1(a,b) \)
Poi ho fatto così \( \left| x +\epsilon y \right| \leq 2 ( x^2 +y^2 ) \) poiché \( \left| \epsilon \right| \leq 1 \).
\[ \left| \frac{f(x+\epsilon y)-f(x)}{\epsilon} \right| \leq \gamma \left( \left| x+\epsilon y \right|^2 + \left| x \right|^2 \right) \left| y \right| \leq \gamma \left( 2 \left| x \right|^2 + 2 \left|y \right|^2 + \left|x \right|^2 \right) \left| y \right| \]
\[ \left| \frac{f(u(x)+\epsilon v(x))-f(u(x))}{\epsilon} \right| \leq G(x) = \gamma \left( 3 \left| u(x) \right|^2 + 2 \left|v(x) \right|^2 \right) \left| v(x) \right| \]
E applicando il teorema della convergenza dominata abbiamo che
\[ \lim_{ \epsilon \to 0 } \int_a^b \left| \frac{f(u(x)+\epsilon v(x))-f(u(x))}{\epsilon} \right|dx = \int_a^b f'(u(x))v(x) dx \]
Le soluzioni definiscono fanno in modo analogo ma non capisco cosa fa, differisce da me qui e fanno così:
\[ \left| \frac{f(x+\epsilon y)-f(x)}{\epsilon} \right| \leq \gamma \left( \left| x+\epsilon y \right|^2 + \left| y \right|^2 \right) \left| y \right| \leq 2 \gamma \left( \left| x \right|^2 + \left|y \right|^2 \right) \left| y \right| \]
E poi dice che per quasi tutte le \(x \in (a,b) \)
\[ \left| \frac{f(u(x)+\epsilon v(x))-f(u(x))}{\epsilon} \right| \leq G(x) = 2 \gamma \left( \left| x \right|^2 + \left|y \right|^2 \right) \left| y \right| \]
- La prima disuguaglianza credo sia un typo. Ha scritto \(y \) invece di \(x\)
- Ma l'ultima disuguaglianza non la capisco.
- Non capisco perché è per quasi tutte le \(x \in (a,b) \) e non per tutte.
\[ \left| f(x) - f(y) \right| \leq \gamma( \left| x \right|^2 + \left| y \right|^2 ) \left| x - y \right| \]
per ogni \( x,y \in \mathbb{R} \).
Siano inoltre \( u,v \in L^3(a,b) \) e per \( \left| \epsilon \right| \leq 1 \) poniamo
\[ \Phi(\epsilon)= \int_a^b f(u(x)+\epsilon v(x) ) dx \]
dimostra che \( \Phi \) è derivabile in 0 e calcola \( \Phi'(0) \).
Io ho fatto così
In un primo luogo ho dimostrato che se \( v,u \in L^3(a,b) \) allora \( u^2v \in L^1(a,b) \) e \( f(u(x)) \in L^1(a,b) \)
Poi ho fatto così \( \left| x +\epsilon y \right| \leq 2 ( x^2 +y^2 ) \) poiché \( \left| \epsilon \right| \leq 1 \).
\[ \left| \frac{f(x+\epsilon y)-f(x)}{\epsilon} \right| \leq \gamma \left( \left| x+\epsilon y \right|^2 + \left| x \right|^2 \right) \left| y \right| \leq \gamma \left( 2 \left| x \right|^2 + 2 \left|y \right|^2 + \left|x \right|^2 \right) \left| y \right| \]
\[ \left| \frac{f(u(x)+\epsilon v(x))-f(u(x))}{\epsilon} \right| \leq G(x) = \gamma \left( 3 \left| u(x) \right|^2 + 2 \left|v(x) \right|^2 \right) \left| v(x) \right| \]
E applicando il teorema della convergenza dominata abbiamo che
\[ \lim_{ \epsilon \to 0 } \int_a^b \left| \frac{f(u(x)+\epsilon v(x))-f(u(x))}{\epsilon} \right|dx = \int_a^b f'(u(x))v(x) dx \]
Le soluzioni definiscono fanno in modo analogo ma non capisco cosa fa, differisce da me qui e fanno così:
\[ \left| \frac{f(x+\epsilon y)-f(x)}{\epsilon} \right| \leq \gamma \left( \left| x+\epsilon y \right|^2 + \left| y \right|^2 \right) \left| y \right| \leq 2 \gamma \left( \left| x \right|^2 + \left|y \right|^2 \right) \left| y \right| \]
E poi dice che per quasi tutte le \(x \in (a,b) \)
\[ \left| \frac{f(u(x)+\epsilon v(x))-f(u(x))}{\epsilon} \right| \leq G(x) = 2 \gamma \left( \left| x \right|^2 + \left|y \right|^2 \right) \left| y \right| \]
- La prima disuguaglianza credo sia un typo. Ha scritto \(y \) invece di \(x\)
- Ma l'ultima disuguaglianza non la capisco.
- Non capisco perché è per quasi tutte le \(x \in (a,b) \) e non per tutte.
Risposte
Hai fatto bene, la tua disuguaglianza differisce per un fattore moltiplicativo sulla \(x\), ma non è importante. L'importante è che si possa applicare la convergenza dominata, e per quella basta una costante qualsiasi, potevi pure scrivere \(1000\gamma\) e sarebbe andato bene lo stesso. Quanto al quasi ogni \(x\), è una sottigliezza, il fatto è che \(u, v\) a priori sono definite solo quasi ovunque.
"dissonance":
Hai fatto bene, la tua disuguaglianza differisce per un fattore moltiplicativo sulla \(x\), ma non è importante. L'importante è che si possa applicare la convergenza dominata, e per quella basta una costante qualsiasi, potevi pure scrivere \(1000\gamma\) e sarebbe andato bene lo stesso. Quanto al quasi ogni \(x\), è una sottigliezza, il fatto è che \(u, v\) a priori sono definite solo quasi ovunque.
Sì, differisce per un fattore moltiplicativo ed è vero che non è importante quale sia la costante a condizione che si possa applicare la convergenza dominata, infatti è importante che la funzione \(G(x)\) domini l'opportuna successione di funzioni, però mi sembra che con la sua costante la successione di funzioni non sia dominata proprio perché una disuguaglianza non è verificata.
Per quanto riguarda il quasi ogni \(x\) hai ragione, che scemo...
La sua costante è più piccola, è vero. Magari hai ragione tu.
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