F" infinito su un intervallo non puo essere continua
f''(x) infinito su un intervallo continuo (a,b) implica f non continua.
Col disegnino é facile. Ma si può avere una dimostrazione rigorosa?
Col disegnino é facile. Ma si può avere una dimostrazione rigorosa?
Risposte
Sinceramente non si capisce cosa tu voglia sapere... 
Sia f una funzione tale che f''(x) é infinito su un intervallo reale (a,b).
Dimostrare che f non puo essere continua
Dimostrare che f non puo essere continua
Che vuol dire che \(f^{\prime \prime }(x)=\infty\) su un intervallo???
Ma siamo sempre dalle parti di Analisi I, oppure stai trattando argomenti più avanzati?
Ma siamo sempre dalle parti di Analisi I, oppure stai trattando argomenti più avanzati?
f"(x) infinito per ogni x in (a,b)
$lim(h to 0) (f'(x+h)-f'(x))/h= infty$ per ogni x in (a,b)
Io voglio vedere il disegnino!
Nessun disegnino, solo elucubrazioni.
Se esistesse una f (derivabile) tale che f''(x) = infinito per ogni x in un intervallo, in pratica la funzione f' avrebbe un punto di flesso verticale in ogni x in (a,b). E non riesco proprio a disegnare una funzione fatta così.
Ovviamente detta così è alla buona, mi piacerebbe vederlo con argomenti alla epsilon-delta.
Inoltre quanto ho detto presuppone f derivabile. Questo è chiedere troppo (esistono f continue non derivabili)...
Se esistesse una f (derivabile) tale che f''(x) = infinito per ogni x in un intervallo, in pratica la funzione f' avrebbe un punto di flesso verticale in ogni x in (a,b). E non riesco proprio a disegnare una funzione fatta così.
Ovviamente detta così è alla buona, mi piacerebbe vederlo con argomenti alla epsilon-delta.
Inoltre quanto ho detto presuppone f derivabile. Questo è chiedere troppo (esistono f continue non derivabili)...
In un attacco di sincerità, volevo rendere rigorosa la seguente affermazione, che si trova in ogni libro di meccanica quantistica:
"Se V(x) (il potenziale) è infinito in un intervallo, allora $\psi(x)=0$ perchè la probabilità di trovare la particella è nulla".
Viene usato per esempio nel trattare la buca infinitamente alta.
Infatti l'equazione di Schrodinger sarebbe
$$-C\psi'' = (E-V(x))\psi$$
Se V(x) è infinito in un intervallo, in ogni punto di quell'intervallo devo avere $$\psi''=\infty$$ in ogni punto di esso. A quel punto vorrei derivare che $$\psi(x) =0$$, a meno di sacrificare la continuità di $\psi$ (data per assioma per motivi fisici).
"Se V(x) (il potenziale) è infinito in un intervallo, allora $\psi(x)=0$ perchè la probabilità di trovare la particella è nulla".
Viene usato per esempio nel trattare la buca infinitamente alta.
Infatti l'equazione di Schrodinger sarebbe
$$-C\psi'' = (E-V(x))\psi$$
Se V(x) è infinito in un intervallo, in ogni punto di quell'intervallo devo avere $$\psi''=\infty$$ in ogni punto di esso. A quel punto vorrei derivare che $$\psi(x) =0$$, a meno di sacrificare la continuità di $\psi$ (data per assioma per motivi fisici).
"newton_1372":
Col disegnino é facile.
"newton_1372":
Nessun disegnino, solo elucubrazioni.
...
E non riesco proprio a disegnare una funzione fatta così.
Prendi una decisione xD
In ogni caso, se fosse \(\psi'' = \infty\), ammesso che questo significhi qualcosa, sicuramente non potrebbe essere \(\psi = 0\), perché altrimenti avresti \(\psi'' = 0\).
Scusate! Quando ho scritto $\psi$ intendevo dire $\psi(x)$.
Cioè il ragionamento che vorrei fare è un ragionamento puntuale. Vorrei mostrare che per ogni x in (a,b), deve essere per forza $\psi(x)=0$- Le ipotesi sono $\psi$ continua, l'equazione di Schrodinger indipendente dal tempo e V(x) infinito in ogni x in (a,b).
Insomma cosa c'è nascosto matematicamente quando si dice "poichè il potenziale è infinito allora $\psi(x)$ deve essere nullo"?
Cioè il ragionamento che vorrei fare è un ragionamento puntuale. Vorrei mostrare che per ogni x in (a,b), deve essere per forza $\psi(x)=0$- Le ipotesi sono $\psi$ continua, l'equazione di Schrodinger indipendente dal tempo e V(x) infinito in ogni x in (a,b).
Insomma cosa c'è nascosto matematicamente quando si dice "poichè il potenziale è infinito allora $\psi(x)$ deve essere nullo"?
"newton_1372":
In un attacco di sincerità, volevo rendere rigorosa la seguente affermazione, che si trova in ogni libro di meccanica quantistica:
"Se V(x) (il potenziale) è infinito in un intervallo, allora $\psi(x)=0$ perchè la probabilità di trovare la particella è nulla".
Viene usato per esempio nel trattare la buca infinitamente alta.
Infatti l'equazione di Schrodinger sarebbe
$$-C\psi'' = (E-V(x))\psi$$
Se V(x) è infinito in un intervallo, in ogni punto di quell'intervallo devo avere $$\psi''=\infty$$ in ogni punto di esso. A quel punto vorrei derivare che $$\psi(x) =0$$, a meno di sacrificare la continuità di $\psi$ (data per assioma per motivi fisici).
Hai fatto bene a spiegare cosa intendessi, la domanda originale era francamente priva di senso, questa va molto meglio. Secondo me il grosso problema è di interpretazione. Le soluzioni delle PDE non si interpretano sempre in senso classico, più spesso si hanno "formulazioni deboli" che permettono di gestire situazioni come questa. Qui, per esempio, sicuramente si intende come "soluzione" una funzione $\psi$ tale che
\[\tag{1}
\int(-\nabla^2 +V-E)\psi(x,y,z)\overline{\phi}(x, y,z)\, d^3x = 0\]
per ogni funzione \(\phi\) liscia e a supporto compatto. Nelle regioni in cui \(V\) è infinito, quindi, la funzione \(\psi\) deve annullarsi altrimenti la \((1)\) non potrebbe essere vera.
In che modo si vede che V infinito implica che quell'integrale nullo porta indiscutibilmente che $\psi(x)=0$?
E poi non capisco...cioè vedo $\psi$ come distribuzione? Ma se addirittura ho (dai postulati) che $\psi$ deve essere continua...
E poi non capisco...cioè vedo $\psi$ come distribuzione? Ma se addirittura ho (dai postulati) che $\psi$ deve essere continua...
Forse ho capito cosa voleva dire dissonance, ma vorrei porre due questioni circa la (1).
1). C'è un "quasi ovunque" nascosto sotto il tappeto? Perchè potrei avere $\psi$ non nullo in un dominio di misura nulla, senza cambiare il valore di quell'integrale.
2). Se V(x) = infinito (che poi significa che V non è definita)...che senso matematico ha la (1)? (Forse questo è piu legato al fatto che dire che V = infinito di per se ha poco senso...anche qui, cosa c'è di implicito?
Upload: ci ho meditato un po, e purtroppo credo che non sia abbastanza.
Accertato così che f é nulla quasi ovunque, non ho ancora PSI(x)=0 dappertutto...sicuri che non esiste un f nulla quasi ovunque continua ma non tutta nulla?
1). C'è un "quasi ovunque" nascosto sotto il tappeto? Perchè potrei avere $\psi$ non nullo in un dominio di misura nulla, senza cambiare il valore di quell'integrale.
2). Se V(x) = infinito (che poi significa che V non è definita)...che senso matematico ha la (1)? (Forse questo è piu legato al fatto che dire che V = infinito di per se ha poco senso...anche qui, cosa c'è di implicito?
Upload: ci ho meditato un po, e purtroppo credo che non sia abbastanza.
Accertato così che f é nulla quasi ovunque, non ho ancora PSI(x)=0 dappertutto...sicuri che non esiste un f nulla quasi ovunque continua ma non tutta nulla?
Up
"newton_1372":
Up
[xdom="Raptorista"]È la seconda volta in due giorni che ti fai ammonire per un "up" inutile. Non farti sanzionare per una stupidata del genere, per piacere.[/xdom]
"newton_1372":
Forse ho capito cosa voleva dire dissonance, ma vorrei porre due questioni circa la (1).
1). C'è un "quasi ovunque" nascosto sotto il tappeto? Perchè potrei avere $\psi$ non nullo in un dominio di misura nulla, senza cambiare il valore di quell'integrale.
Si. Una formulazione debole finisce per avere senso solo a meno di equivalenza quasi ovunque. Ma una funzione continua non può essere modificata su un insieme di misura nulla senza perdere la continuità, quindi per funzioni continue non si perde l'unicità.
Queste comunque sono cose che non ha molto senso mettersi a spiegare qui, ti consiglio di dare una lettura, anche sommaria, a qualche trattazione matematica delle PDE. Per la meccanica quantistica mi è recentemente capitato sottomano il libro di Peter Olver, e mi è sembrato moderno e ben scritto. C'è tutta la trattazione matematica dell'atomo di idrogeno, prova a dare una occhiata.
2). Se V(x) = infinito (che poi significa che V non è definita)...che senso matematico ha la (1)? (Forse questo è piu legato al fatto che dire che V = infinito di per se ha poco senso...anche qui, cosa c'è di implicito?
Usa la convenzione \(\infty\cdot 0 = 0\). Per compensare l'infinito di \(V\) la funzione d'onda si deve annullare. Chiaro che questa è una convenzione arbitraria. In effetti il problema con \(V\) infinito su un insieme di misura positiva non è rigorosamente ben posto. Ma anche qua, non lo so.
sicuri che non esiste un f nulla quasi ovunque continua ma non tutta nulla?
"Quasi ovunque continua" non significa granché. Devi richiedere che la funzione sia globalmente continua: con questa richiesta, esiste solo un rappresentante continuo rispetto all'equivalenza quasi ovunque.
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