Finita additività

[compa90]

Buonasera sto provando a dimostrare che la funzione misura è finitamente additiva.
Considero la funzione misura \[ m : P \in \mathcal{P} \to m(P)=\sum_{r=1}^h m(I_r) \in [0,+\infty)\] dove $\{I_1,I_2,...,I_h\}$ rappresentano una partizione del pluri-intervallo $P$.

Devo provare che essa è finitamente additiva, cioè che verifica la seguente condizione \[P\cap P' =\emptyset\ \rightarrow \ m(P\cup P')=m(P)+m(P')\]

Procedo nel seguente modo

Siano $\{I_1,I_2,...,I_h\}$, $\{J_1,J_2,...,J_k\}$ partizioni di $P,P'$ rispettivamente.
Dalla definizione di funzione misura si ha allora
\[m(P)=\sum_{r=1}^h m(I_r), \ \quad m(P')=\sum_{r=1}^k m(I_r)\]
Sia $\{I_1,I_2,...,I_h,J_1,J_2,...,J_k\}$ essa è una partizione di $P\cup P'$, infatti

$I_p\ne \emptyset \ J_s\ne \emptyset, \quad \forall \ p,s$
$I_p\cap J_s=\emptyset \quad \forall \ p,s $
$I_1\cup I_2\cup...\cup I_h \cup J_1 \cup J_2 \cup ... \cup J_k =P\cup P'$


Posto $G_t=I_t$, con $1\le t \le h$, e $G_{h+s}=J_s$ con $1\le s \le k$ si ha allora
\begin{equation}
\begin{split}
m(P\cup P') & =^1\sum_{r=1}^{h+k}m(G_r) \\
& =^2 \sum_{r=1}^{h}m(G_r)+\sum_{r=h+1}^{h+k}m(G_r) \\
& =^3 \sum_{r=1}^{h}m(I_r)+ \sum_{r=1}^{k}m(J_r)\\
& =^4m(P)+m(P')
\end{split}
\end{equation}

1) Definizione della funzione misura e dalla posizione precedente
2) Associatività
3) Posizione
4) Definzione della funzione misura

Va bene ?

[Lebesgue]

Ok

[compa90]

Lassa fà Grazie