[EX] Una successione di funzionali
Propongo un esercizio raccattato sul web.
Non ho ancora una soluzione... Ci lavorerò nei prossimi giorni.
***
Esercizio:
Per ogni $n in NN$, chiamiamo $T_n$ il funzionale definito in $L^oo(0, +oo)$ ponendo:
\[
T_nf := n\ \left( \int_0^1 x^n f(x)\ \text{d} x + \int_1^{+\infty} e^{-n x} f(x)\ \text{d} x\right)\; .
\]
1. Dimostrare che ogni $T_n$ è lineare e calcolarne la norma.
2. Esiste un funzionale lineare $T$ tale che \(T_n \stackrel{*}{\rightharpoonup} T\)?
Non ho ancora una soluzione... Ci lavorerò nei prossimi giorni.
***
Esercizio:
Per ogni $n in NN$, chiamiamo $T_n$ il funzionale definito in $L^oo(0, +oo)$ ponendo:
\[
T_nf := n\ \left( \int_0^1 x^n f(x)\ \text{d} x + \int_1^{+\infty} e^{-n x} f(x)\ \text{d} x\right)\; .
\]
1. Dimostrare che ogni $T_n$ è lineare e calcolarne la norma.
2. Esiste un funzionale lineare $T$ tale che \(T_n \stackrel{*}{\rightharpoonup} T\)?
Risposte
1.
\[ |T_nf | \le \Biggl ( \int_0^{1} nx^ndx + \int_1^{+\infty}ne^{-nx}dx \Biggr ) \|f\|_{L^{\infty}(0, +\infty)} = \Biggl ( \frac{n}{n+1} + e^{-n} \Biggr ) \|f\|_{L^{\infty}(0, +\infty)} \Rightarrow \]
\[ \Rightarrow \| T_n\|_{\text{op}} \le \frac{n}{n+1} + e^{-n} \]
Se \( f(x) \equiv 1 \) si ha \( T_nf = \frac{n}{n+1} + e^{-n} \) quindi \( \| T_n\|_{\text{op}} = \frac{n}{n+1} + e^{-n} \)
2.
Mi viene che sicuramente \( T_n \to \delta_1 \) nel senso delle distribuzioni ma non ho pensato a cosa fare per \( L^{\infty} (0, +\infty) \) o se c'è un modo furbo per concludere da qua.
\[ |T_nf | \le \Biggl ( \int_0^{1} nx^ndx + \int_1^{+\infty}ne^{-nx}dx \Biggr ) \|f\|_{L^{\infty}(0, +\infty)} = \Biggl ( \frac{n}{n+1} + e^{-n} \Biggr ) \|f\|_{L^{\infty}(0, +\infty)} \Rightarrow \]
\[ \Rightarrow \| T_n\|_{\text{op}} \le \frac{n}{n+1} + e^{-n} \]
Se \( f(x) \equiv 1 \) si ha \( T_nf = \frac{n}{n+1} + e^{-n} \) quindi \( \| T_n\|_{\text{op}} = \frac{n}{n+1} + e^{-n} \)
2.
Mi viene che sicuramente \( T_n \to \delta_1 \) nel senso delle distribuzioni ma non ho pensato a cosa fare per \( L^{\infty} (0, +\infty) \) o se c'è un modo furbo per concludere da qua.
"Bremen000":
2.
Mi viene che sicuramente \( T_n \to \delta_1 \) nel senso delle distribuzioni
L'unica obiezione che ho è che \(\delta_1\) non è ben definito su \(L^\infty(0, \infty)\), perché gli elementi di \(L^\infty\) sono definiti a meno di insiemi di misura nulla.
Giusto per aggiungere un paio di ovvietà:
Ora non mi ricordo precisamente il significato dei vari \(\rightharpoonup\) con stellina o no, ma immagino che \(T_n\rightharpoonup^\star T\) significhi che \(T_n f\to Tf\) per ogni \(f\in L^\infty(0, \infty)\). Giusto? Se così fosse, allora se hai dimostrato che \(T_n\to \delta_1\) nel senso delle distribuzioni, dovresti poter dimostrare velocemente che \(T_n\rightharpoonup^\star \delta_1\) nel senso di \(C([0, \infty))\). Su questo sottospazio di \(L^\infty\), \(\delta_1\) è ben definita.
Ciao dissonance, non so se la terminologia è esatta ma intendevo dire che “vista la successione di funzionali $T_n$ come una successione di distribuzioni allora il suo limite è (nel senso delle distribuzioni) $\delta_1$.” Il problema è proprio quello che sottolinei, cioè che su $L^{\infty}$ tale limite non è ben definito.
Si, ho ho sempre inteso così quel simbolo!
Per la convergenza, sì, con un argomento di densità non dovrebbe essere difficile (riprendendo quello che hai scritto in un’altro post, ebbene no, non ho ancora fatto i conti ma li farò!!).
Però \( C([0, + \infty)) \) non è un sottospazio di \( L^{\infty} (0, +\infty)) \)!
Detto ciò, non so che conclusioni trarre per l’esercizio anche se non mi ci sono messo poi più seriamente a lavorare su!
"dissonance":
[...] Giusto? [...]
Si, ho ho sempre inteso così quel simbolo!
"dissonance":
[...]Se così fosse, allora se hai dimostrato che \( T_n\to \delta_1 \) nel senso delle distribuzioni, dovresti poter dimostrare velocemente che \( T_n\rightharpoonup^\star \delta_1 \) nel senso di \( C([0, \infty)) \). Su questo sottospazio di \( L^\infty \), \( \delta_1 \) è ben definita.
Per la convergenza, sì, con un argomento di densità non dovrebbe essere difficile (riprendendo quello che hai scritto in un’altro post, ebbene no, non ho ancora fatto i conti ma li farò!!).
Però \( C([0, + \infty)) \) non è un sottospazio di \( L^{\infty} (0, +\infty)) \)!
Detto ciò, non so che conclusioni trarre per l’esercizio anche se non mi ci sono messo poi più seriamente a lavorare su!
Ah già, è vero, non è un sottospazio perché scritto così include funzioni non limitate. In realtà mi riferivo allo spazio delle funzioni continue e limitate.
@gugo, ci/mi puoi dare qualche suggerimento per concludere o la soluzione?
Per la soluzione, non ce l'ho... Ma se devo tirare ad indovinare, suggerirei di provare che $T_n u -> delta_1 u$ per ogni $u in C_c^oo subset L^oo$ e di qui concludere per assurdo (perché è ben noto che non esiste alcuna funzione $d in L^1 =(L^oo)^**$ che rappresenti la $delta_1$).
Ciao gugo, quando scrivo che
intendo dire esattamente che
Ma non mi è chiaro come concludere da qui. Sebbene sappia che nessuna funzione del duale di \(L^{\infty} \) rappresenti la \( \delta_1 \) su tutto \( L^{\infty} \) non potrebbe essere che il nostro funzionale \( T \) sia un'estensione di Hahn-Banach della \( \delta_1 \) da \( C_c^{\infty}\) a tutto \( L^{\infty} \)? Se così fosse allora testando la successione sulle \( C_c^{\infty} \) non noterei nulla di strano! O no?
P.S. : il lasso di tempo che intercorre tra il mio esame di analisi funzionale e il presente si allunga sempre di più, non sono quindi sicurissimo di quest'ultimo paragrafo!
"Bremen000":
[...] \( T_n \to \delta_1 \) nel senso delle distribuzioni [...]
intendo dire esattamente che
"gugo82":
[...] $T_n u -> delta_1 u$ per ogni $u in C_c^oo subset L^oo$[...]
Ma non mi è chiaro come concludere da qui. Sebbene sappia che nessuna funzione del duale di \(L^{\infty} \) rappresenti la \( \delta_1 \) su tutto \( L^{\infty} \) non potrebbe essere che il nostro funzionale \( T \) sia un'estensione di Hahn-Banach della \( \delta_1 \) da \( C_c^{\infty}\) a tutto \( L^{\infty} \)? Se così fosse allora testando la successione sulle \( C_c^{\infty} \) non noterei nulla di strano! O no?
P.S. : il lasso di tempo che intercorre tra il mio esame di analisi funzionale e il presente si allunga sempre di più, non sono quindi sicurissimo di quest'ultimo paragrafo!
Non venendone a capo con i miei mezzi ho posto questo quesito su MSE. Ne è venuto fuori che in effetti la risposta al punto 2 è negativa ma la costruzione che lo dimostra (e di cui mi sono andato a sistemare i dettagli) è al di là della mia inventiva. Questo un po' mi consola.
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