[EX] Un limite

[gugo82]

Esercizio:

Provare che per ogni $f in L^2(RR)$ risulta:
\[
\lim_n \intop_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ f(x+n)\ \text{d} x =0 \; .
\]

[Bremen000]

Bello!

Sia \( \epsilon >0 \) fissato. Per la densità di \( C_c \) in \( L^2 \), esiste \( \varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) continua e a supporto compatto tale che \( \| f -\varphi \|_2 < \epsilon \). In particolare vale \( \|\varphi \|_2 < \|f\|_2 + \epsilon \). Siccome \( \varphi \) è a supporto compatto vale
\[ \lim_n \int_{\mathbb{R}} \varphi(x) \varphi(x+n) dx =0, \]
anzi, è proprio vero definitivamente. Ma allora, per la disuguaglianza di Holder, vale
\[ \left | \int_{\mathbb{R}} f(x) f(x+n) dx - \int_{\mathbb{R}}\varphi(x)\varphi(x+n) dx \right | \le \epsilon \left ( \|f\|_2 + \|\varphi\|_2 \right ) \le \epsilon \left ( 2\|f\|_2 + \epsilon \right ). \]
Passando al limite su \( n\) e utilizzando l'arbitrarietà di \( \epsilon\), concludiamo.