[EX] - Operatore di Volterra

[Sk_Anonymous]

Propongo un esercizio che lascia aperta una questione.

Esercizio. Si consideri l'operatore di Volterra \( V : C([0,1]) \to C([0,1]) \) definito da \[ f \mapsto \int_0^x f(t) \, dt \qquad (*). \]Mostrare che è ben definito, lineare e continuo. E' compatto? Calcolare inoltre \( \| V \|\).

Si consideri poi \( U : L^2 ([0,1]) \to L^2 ([0,1]) \) definito come \( (*) \). Mostrare che è ben definito, lineare e continuo. E' compatto? Calcolare \( \| U \| \).

In particolare sarei curioso di vedere una soluzione diretta del calcolo di \( \|U\|\). Io sono riuscito a ricavare soltanto un paio di stime superiori, una sostanzialmente "a caso" ed una utilizzando la norma di Hilbert-Schmidt. Tutte le soluzioni brevi che ho letto online erano sostanzialmente reverse engineering.

[dissonance]

Un abbozzo di soluzione per \(U\), work in progress.

Per \(U\) si può decomporre \(f\) in serie di Fourier
\[
f(t)=\sum_{-\infty}^\infty c_n e^{2\pi i n t}\]
e applicare \(U\), ottenendo
\[
Uf(x) = c_0 x +\sum_{n\ne 0} c_n \frac{e^{2\pi i n x}-1}{2\pi i n},
\]
e quindi, usando la serie di Fourier
\[
x=\frac12-\sum_{n\ne 0} \frac{e^{2\pi i n x}}{2\pi i n},
\]
concludiamo che
\[
Uf(x) = \sum_{n\ne 0} \frac{c_n-c_0}{2\pi i n} e^{2\pi i n x} - \sum_{n\ne 0} \frac{c_n}{2\pi in} +\frac{c_0}2, \]
ovvero l'operatore associato alla matrice doppiamente infinita
\[\frac{1}{2\pi i}
\begin{bmatrix}
\ldots & \ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots & \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\
\ldots & 0 & -\frac13 & 0 & 0& \frac13 & 0 & 0& 0& 0& \ldots \\
\ldots & 0 & 0& -\frac12 & 0 & \frac12 & 0& 0 & 0 &0 & \ldots \\
\ldots & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots \\
\ldots & \frac14 & \frac13 & \frac12 & 1 & \pi i & -1 & -\frac12 & -\frac13 & -\frac14 & \ldots \\
\ldots & 0 & 0 & 0& 0& -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots \\
\ldots & 0 & 0 & 0& 0& -\frac12& 0 & \frac12 & 0 & 0 & \ldots \\
\ldots & 0 & 0 & 0& 0& -\frac13& 0 & 0 & \frac13 & 0 & \ldots \\
\ldots & \ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots & \ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\
\end{bmatrix} .\]
NOTA: A causa di quel termine \(\pi i\) al centro della matrice, essa non è né simmetrica né antisimmetrica, come è giusto che sia, perché \(U\) non è né simmetrico né antisimmetrico (infatti \(U^\star g(t) =\int_t^1 g(s)\, ds\)).

La somma dei moduli quadrati di tutte le entrate di questa matrice è finita, infatti
\[\tag{HS}
\frac{6}{(2\pi)^2}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} + \frac14 = \frac12, \]
quindi \(U\) è un operatore compatto, perché è approssimabile nella norma degli operatori con una successione di operatori di rango finito, ottenuti troncando la matrice. (Il tag (HS) sta per "Hilbert-Schmidt", perché la somma dei quadrati di tutte le entrate di una matrice infinita si chiama anche "norma di Hilbert-Schmidt").

Questo dà anche una stima della norma dell'operatore:
\[
\| U\|_{L^2\to L^2} \le \| U\|_{\mathrm{HS}}=\frac{\sqrt 2}{2}, \]
ma questa disuguaglianza potrebbe benissimo essere stretta. Sto pensando a come calcolare \(\|U\|_{L^2\to L^2}\) usando la matrice infinita.

[dan952]

@dissonance

Mi sa hai calcolato male $Uf$

[dissonance]

Dici la serie di Fourier? Può darsi, stasera rifaccio il conto. Spero sia chiara almeno l'idea

[Sk_Anonymous]

@dissonance: in effetti questa è una cosa nuova/diversa da quella che mi aspettavo, e sarei curioso di vederla articolata meglio (anche perché il risultato finale non mi torna). Grazie!

La soluzione (di Halmos) che ho visto in seguito passa per \( U^* U \) ed il calcolo dei suoi autovalori.

[dissonance]

"Delirium":@dissonance: in effetti questa è una cosa nuova/diversa da quella che mi aspettavo, e sarei curioso di vederla articolata meglio (anche perché il risultato finale non mi torna). Grazie!

La soluzione (di Halmos) che ho visto in seguito passa per \( U^* U \) ed il calcolo dei suoi autovalori.

Mi fa molto piacere, è una cosa che mi è venuta in mente vedendo il tuo esercizio. Ma non sono più tanto sicuro che stia bene, ho modificato il post precedente, è un work in progress. Sono io che ti ringrazio, è un esercizio istruttivo.

[dan952]

Edit: Eh già...

[dissonance]

Grazie dan! Ho capito cosa mancava, stavo assumendo che \(\int_0^1 x\, dx = 0\). Adesso sono sicuro che la matrice è corretta.

[dan952]

Non era quello che intendevo

[dissonance]

Lo so, ma credo proprio che il tuo suggerimento non sia corretto come fa una entrata di matrice a dipendere da x?

[dan952]

Perdonami mi serve una vacanza...

[dan952]

Della serie liberamente tratto da...

Siano $f(x),g(x) \in L^2((0,1))$ con $g(x)>0$ per ogni $x \in (0,1)$ e di classe $C^2([ [0,1] ])$, quindi

$$||Uf||^2=\int_{0}^{1} |\int_{0}^{x} \sqrt{g(t)} \cdot \frac{f(t)}{\sqrt{g(t)}} dt|^2dx \leq \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} g(t)dt \int_{0}^{x} \frac{|f(t)|^2}{g(t)} dt$$

dalla disuguaglianza di Hölder, inoltre scegliamo $g$ in modo la sua primitiva $kG(x)$, con $k>0$ costante, è tale che $G(0)=0$ così da avere

$$\int_{0}^{1} kG(x) \int_{0}^{x} \frac{|f(t)|^2}{g(t)} dt=\int_{0}^{1} \int_{t}^{1} kG(x)dx\frac{|f(t)|^2}{g(t)} dt$$

Quindi imponendo $g(1)=0$ e $\int_{t}^{1} kG(x)dx=-k^2g(t)$ otteniamo

$$||Uf||^2 \leq k^2||f||^2$$

Per quanto detto sappiamo che $g$ soddisfa il seguente PdC

${(g''(x)=-\frac{1}{k^2}g(x)),(g(1)=g'(0)=0):}$

Che ha come soluzione $g(x)=\cos(\pi x/2)$, quindi $k=\frac{2}{\pi}$, in conclusione $||Uf|| \leq \frac{2}{\pi} ||f||$ l'uguaglianza vale per la funzione $g$.

[Sk_Anonymous]

@dan95: il risultato finale e' corretto, ma ho qualche dubbio sul procedimento. Tralasciando il fatto che parti da funzioni in \(L^1\), dici

"dan95":[...] inoltre scegliamo $g$ in modo la sua primitiva $kG(x)$ [...]

e per quanto legittima possa essere questa scelta, mi sembra tutt'altro che naturale (lo dico con fare "prevenuto", spesso queste assunzioni misteriose sono introdotte quando si sa gia' precisamente dove si vuole andare a parare). Poi dici

"dan95":[...] Quindi imponendo $g(1)=0$ [...]

che non ha granche' senso visto che a priori non parli della regolarita' di \(g\); anche il problema di Cauchy che imposti (in cui c'e' un problema di segno) ha senso soltanto chiarificando la regolarita' di \(g\).

Insomma, mi sembra un modo un po' naïve di fare questa cosa.

[dan952]

Ho levato gli errori di scrittura... E specificato un po' di regolarità.

La costante è stata aggiunta per far sì che esistesse una soluzione non identicamente nulla del PdC, comunque sempre pensando con la soluzione in testa quello sì...

Della serie: liberamente tratto da... quello che hai linkato.

[dissonance]

Il massimizzatore \(\cos (\tfrac\pi 2 x)\) è unico, vero? (A meno di moltiplicazione per una costante). Bisognerebbe calcolarne la serie di Fourier, per vedere se si riesce a capire come calcolare \(\|U\|\) in Fourier, usando la rappresentazione matriciale. Se trovo il tempo lo faccio io, mi ci sono appassionato. (Bella soluzione dan)

[dan952]

Grazie dissonance ma di mio non c'è nulla in pratica dato che l'idea iniziale è stata presa da https://math.stackexchange.com/questions/155899/norm-of-integral-operator-in-l-2

Sarebbe bello vedere come va a finire con la tua

[dissonance]

La serie di Fourier di \(\cos \tfrac\pi2 x\) è
\[
\sum_{n=-\infty}^\infty 2\,{\frac {4\,in-1}{\pi \, \left( 16\,{n}^{2}-1
\right) }} e^{2\pi i n x}.
\]
Mi pare piuttosto difficile trovare una maniera di dimostrare direttamente che il vettore dei coefficienti di questa serie massimizza la norma della matrice infinita. Lascio perdere.