[Ex] Convergenza debole implica convergenza forte

[Bremen000]

Esercizio (facile): Sia \( H \) uno spazio di Hilbert con prodotto scalare \( (\cdot, \cdot) \) e \( T:H \to H \) un operatore lineare della forma
\[ Tx = \sum_n (x,a_n)b_n \] dove \( \{a_n\}_{n \ge 0}, \{b_n\}_{n \ge 0} \subset H \) e
\[ \sum_{n} |a_n||b_n| < \infty \] con \( | \cdot | \) la norma indotta da \( (\cdot, \cdot) \).
Si mostri che, se \( \{x_n\}_{n \ge 0} \subset H\) è una successione debolmente convergente, allora \( \{Tx_n\}_{n \ge 0} \) converge fortemente.

[Studente Anonimo]

Mostro che \( Tx_n \to Tx \) se \( x_n \rightharpoonup x \). Le mappe \( x \mapsto (x,a_k)\), \(k \in \mathbb{N} \), sono funzionali lineari e continui, quindi \( (x-x_n,a_k) \to 0 \) per \( n \to \infty \) e per ogni \(k\). Inoltre ricordo che \( x_n \) è limitata, essendo debolmente convergente. Fisso \( \epsilon > 0 \) e prendo \(N \) tale che \[ \sum_{k \ge N+1} |(x-x_n,a_k)| |b_k| < \epsilon/2; \]si può fare usando Cauchy-Schwarz, la coda della serie \( \sum |a_k | |b_k| < \infty \) e la limitatezza di \(x_n\).

Poi, se \( n \) è grande abbastanza, si ha che (dalla convergenza convergenza debole) \[ \sum_{k=1}^N |(x-x_n,a_k)| |b_k| < \epsilon/2. \]Ma allora \[ \begin{split} |T(x-x_n)| & \le \left|\sum_{k=1}^N (x-x_n,a_k) b_k \right| + \left| \sum_{k \ge N+1} (x-x_n,a_k) b_k \right| \\ & \le \sum_{k=1}^N |(x-x_n,a_k)| |b_k| + \sum_{k \ge N+1} |(x-x_n,a_k)| |b_k| < \epsilon. \end{split} \]

Rilancio (Schur). Sia \( \{x_n\}_{n \ge 1} \subseteq \ell^1 (\mathbb{N} ) \) una successione; provare che \( x_n \to x \) se e solo se \( x_n \rightharpoonup x \).

[gugo82]

Un po’ più semplice, forse… Se ricordo ancora qualcosina di teoria degli operatori.

L’operatore $T$ è limite della successione $T_k := sum_(n=1)^k << * , a_n >> b_n$ costituita da operatori a rango finito; dato che gli operatori a rango finito sono compatti e che il limite di operatori compatti è esso stesso compatto, $T$ è compatto e perciò trasforma successioni debolmente convergenti in successioni fortemente convergenti.

[Bremen000]

Entrambe le soluzioni sono ovviamente corrette! Chiaramente la seconda è più veloce; tuttavia per "il principio di conservazione dell'emmerdement" (cit dissonance cit Brezis) la seconda evita di dimostrare esplicitamente che l'operatore $T$ è il limite dei $T_k$ nella norma operatoriale. Un'altra soluzione (direi nello stesso identico spirito di quella di 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6) poteva essere ottenuta utilizzando la convergenza dominata du $\mathbb{N}$ munito della misura del conteggio.