[EX Analisi Funz.] Esercizietto su un operatore integrale

[feddy]

Ciao a tutti,

propongo un facile esercizietto con un operatore integrale, giusto per cambiare un po' argomenti in questa stanza!

Sia $X=C^0 [0,1]$ dotato della norma \(\| \cdot \|_{\infty}\). Si consideri l'operatore lineare $T:X \rightarrow X$ tale che
\[
(Tu)(x)=e^x \int_0^x e^{-t}u(t)\ \text{d} t
\]

1. Si calcoli la norma operatoriale di $T$. È raggiunta per qualche elemento di $X$?

2. Studiare l'iniettività, la suriettività e la compattezza di $T$.

3. Caratterizzarne il range.

4. Determinare lo spettro di $T$.

Extra point: Si calcoli \(\displaystyle \inf_{u \in X} \frac{\| Tu\|_{\infty}}{\| u\|_{\infty}}\).

[gugo82]

Beh, è tanto che non faccio esercizi del genere...

1.

Fissata $u in X$ si ha:
\[
\begin{split}
|Tu(x)| &= \left| e^x \int_0^x e^{-t} u \right| \\
&\leq e^x \| u\|_\infty \int_0^x e^{-t} \\
&= (e^x - 1)\ \| u\|_\infty
\end{split}
\]
per ogni $x in [0,1]$; dunque:
\[
\| T\|_{\text{op}} \leq \sup_{0\leq x \leq 1} (e^x - 1) = e - 1\; .
\]
D’altra parte, scelta $bar(u)(x)=1$, risulta:
\[
|T\bar{u}(x)| = e^x (1 - e^{-x})= e^x - 1
\]
per ogni $x in [0,1]$, dunque:
\[
\| T \bar{u}|_\infty = e - 1 = (e - 1) \| \bar{u}\|_\infty \quad \Rightarrow \quad \| T\|_{\text{op}} = e - 1\; .
\]

2.

Affinché $T$ sia iniettiva c'è bisogno che \(\mathcal{N}(T) = \{ 0\}\). Ciò è banalmente vero, perché $Tu=0$ se e solo se $u=0$ q.o. e, visto che $u$ è continua, ciò equivale a $u=0$ ovunque in $[0,1]$.
Inoltre, $T$ non è suriettiva: infatti, per TFCI e teoremi sulle funzioni derivabili, risulta $Tu in C^1 ([0,1]) subset X$ per ogni $u in X$.

Per la compattezza ci devo pensare un attimo, ma probabile lo sia.

3.

Per quanto visto sopra, \(\mathcal{R}(T) \subseteq C^1([0,1])\); d’altra parte, per ogni $u in X$ si ha $Tu(0) = 0$.
Dunque l’idea è che \(\mathcal{R}(T) = \{ v \in C^1([0,1]):\ v(0) = 0 \} =: Y\)... Vediamo.

Che \(\mathcal{R}(T) \subseteq Y\) è conseguenza banale di quanto appena scritto; quindi rimane da mostrare che \(\mathcal{R}(T) \supseteq Y\).
Fissiamo $v in Y$ e cerchiamo $u in X$ tale che $v=Tu$. Dal TFCI e dalle regole di derivazione traiamo:
\[
v^\prime(x) = \underbrace{Tu(x)}_{=v(x)} + e^x\ e^{-x} u(x) = v(x) + u(x)
\]
da cui otteniamo $u = v^\prime - v$ come candidato ad essere una soluzione del problema; ora $v^\prime - v in X$ per la regolarità supposta su $v$ e d’altra parte risulta:
\[
\begin{split}
T(v^\prime - v)(x) &= e^x \int_0^x e^{-t} (v^\prime - v) \\
&= e^x \int_0^x e^{-t} v^\prime - e^x \int_0^x e^{-t} v \\
&= e^x \left[ e^{-t} v(t) \right]_0^x + e^x \int_0^x e^{-t} v - e^x \int_0^x e^{-t} v \\
&= e^x (e^{-x} v(x) - v(0)) \\
&= v(x)
\end{split}
\]
per integrazione per parti. Ciò mostra che \(Y = \mathcal{R} (T)\).

4. Devo fare un po’ di conti... Appena ho un po’ di tempo vedo.

[feddy]

Ciao gugo!

1. e 3. sono esatti! L'iniettività nel 2 l'avrei fatta così:

2.

Per l'iniettività io scriverei $F(x)=\int_0^x e^{-t}u(t)dt $. Poiché $u \in C^0[0,1]$ si ha che $F \in C^1$ e $F'(x)=e^{-x} u(x)$. Il fatto che $F=0$ implica $F'=0$, e dunque $u=0$. Perciò $\ker(T)=\{0\}$

Hint per la compattezza:

mostrare che dato $B= \{ u \in X: ||u||_{\infty} \leq 1 \}$, $T(B)$ è relativamente compatto in $C^0[0,1]$.

Il 4. non dovrebbe comportare molti conti...

[gugo82]

4.

L’equazione degli autovalore di $T$ è:
\[
Tu = \lambda u \qquad \Leftrightarrow \qquad e^x \int_0^x e^{-t} u = \lambda u(x) \; ,
\]
in cui possiamo anche supporre $lambda != 0$ perché $T$ è iniettiva.
Come notato sopra ciò implica $u(0) = 0$ e maggiore regolarità di $u$: infatti, da $Tu=lambda u$ segue $u = 1/lambda Tu in Y subset C^1$; ciò implica che $Tu in C^1$ e dunque $u in C^2$… Da ciò segue che ogni (eventuale) autofunzione di $T$ è di classe $C^oo$.
Possiamo dunque derivare l’equazione degli autovalore quante volte vogliamo; in particolare, derivando una volta ambo i membri otteniamo:
\[
u^\prime (x) = \frac{\lambda + 1}{\lambda}\ u(x)
\]
con condizione $u(0) = 0$. Da ciò segue che $u(x) = 0$ per ogni $\lambda != 0$, ossia che $T$ non ha alcun autovalore.

[feddy]

Tanto per cambiare, giusto anche il 4, ma ti sei dimenticato di dire chi è lo spettro! Per concludere cosa sia, torna sicuramente utile mostrare che l'operatore è compatto

[feddy]

Posto quello che manca.

2. (Compattezza)

Chiaramente si può pensare di utilizzare il teorema di Ascoli-Arzelà per concludere che $T(B)$ è relativamente compatto in $C^{0}[0,1]$, dove $B= \{ u \in X: ||u||_{\infty} \leq 1 \}$.


Infatti, si ha $||Tu|| \leq e -1$ per ogni $u \in B$, e dunque $T(B)$ è equibounded.
Mostro l'equicontinuità: a tal fine, considero

$|Tu(x)-Tu(y)|=\text{calcoli noiosi} \leq |e^x \int_x^y e^{-t} |u(t)|dt | + |e^x - e^y| \int_0^y e^{-t}|u(t)|dt | \leq 2e^2|x-y|$. Pertanto sia che $T(B)$ è equi-lipschitz, e, di conseguenza, equicontinua.

Pertanto, per AA si ha che $T(B)$ è rel. compatto in $X$, e dunque $T$ è compatto.

4. (spettro)

Come mostrato sopra, l'operatore è compatto, e poichè $dim(X)=+\infty$, si ha che $0 \in \sigma(T)$ e $\sigma(T) \setminus \{0\}= EV(T) \setminus{0}$. Ma, come mostrato sopra da @gugo, non vi sono autovalori e dunque, lo spettro è fatto dal solo $\{ 0 \}$.

Extra point:

Considero la sequenza

$u_n(x)$=\begin{cases} (1-nx), & \mbox{se } x \in [0, \frac{1}{n}] \\ 0, & \mbox{se } x \in [\frac{1}{n},0]
\end{cases}

Si ha, per $n \in \mathbb{N} \setminus \{ 0\}$, $||u_n||=1$. Se $x \in [0,1]$, vale che

$|Tu_n(x)| \leq e \int_0^1 e^{-t} |u_n(t)|dt \leq \frac{e}{n}$

Perciò, $0 \leq \lim_n \frac{||Tu_n||_{\infty}}{||u_n||_{\infty}} \leq \lim_n \frac{e}{n}=0$, e perciò $\text{inf}_{u \in X} \frac{\|| Tu\||_{\infty}}{\|| u\||_{\infty}} =0$