Estensioni di misure

[elatan1]

Salve a tutti,
prima della domanda introduciamo una serie di concetti:

Sia $\mathcal{F}$ un'algebra di insiemi e sia $\mu_{0}$ una misura finita e $\sigma$- additiva.

Denotiamo con $\mathcal{F_\sigma}$ la famiglia di tutte le unioni numerabili di insiemi di $\mathcal{F}$ e con $\mathcal{F_\delta}$ la famiglia di tutte le intersezioni numerabili di insiemi di $\mathcal{F}$.

Estendiamo $\mu_{0}$ alle due famiglie $\mathcal{F\sigma}$ and $\mathcal{F}_{\delta}$ nel seguente modo:

Se$A\in\mathcal{F_{\sigma}}$
\begin{equation}
\mu_{1}(A)=\sup\{\mu_{0}(A'), A'\subset A,\; A'\in\mathcal{F}\}
\end{equation}
mentre $B\in\mathcal{F_\delta}$
\begin{equation}
\mu_{2}(B)=\inf\{\mu_{0}(B'), B'\supset B,\; B'\in\mathcal{F}\}.
\end{equation}

La domanda è la seguente: $\mu_1$ e $\mu_2$ sono anche finite?

Grazie

[gugo82]

Se con finita intendi che la misura dello spazio ambiente è finita, i.e. $mu_0(X) < +oo$, allora mi pare che tutto sia banalmente vero... O no?

[elatan1]

Si, sostanzialmente per finita intendo che assume valori in $\mathbb{R_+}$

[elatan1]

Gentile Gugo82, mi permetto di farti una ulteriore domanda:

Supponiamo che $A\in\mathcal{F_\sigma}$, mentre $B\in\mathcal{F_\delta}$, tale che $B\subset A$. Da come sono definite a me sembrerebbe che $\mu_2(B)<\mu_1(A)$, ma non me la sentirei di dire che vale sempre, perché come la mettiamo se ad esempio esiste un unico $B'$ il quale contiene $A$, dunque $A'$? In questo caso $\mu_0(B')>\mu_0(A')$.

Se invece supponiamo che ogni $B'\subset A'$ allora $\mu_{0}(B')<\mu_{0}(A')$, dunque passando all'inf da un lato e al sup dall'altro otteniamo la tesi.

Ma visto che in alcune dimostrazioni che sto studiando si utilizza il fatto che se $B\subset A$ allora $\mu_2(B)<\mu_1(A)$, mi chiedevo appunto se questa fosse una "approssimazione" poco esatta o perloméno azzardata. Ti ringrazio!