Esprimere Esplicitamente La Soluzione Di Una PDE(Molto Difficile)

[mklplo751]

Salve,vi sarei molto grato se qualcuno potesse aiutarmi a esprimere esplicitamente la soluzione di questa PDE(con "esprimere esplicitamente la soluzione " intendo:individuare esplicitamente o come somma di una serie di funzioni oppure come un integrale la soluzione).La PDE che non mi da pace è questa:
\( y'(x)\frac{\partial^2 f(y(x),y'(x))}{(\partial y(x))^2}-(y'(x)+y''(x))\frac{\partial^2 f(y(x),y'(x))}{\partial y(x)\partial y'(x)}-\frac{\partial f(y(x),y'(x))}{\partial y(x)}=f(y(x),y'(x)) \) .
Se non vi reca disturbo,potreste aiutarmi a risolvere quest'arcano?

[ciampax]

Ma l'incognita è la $y(x)$ o la $f$? Perché a me pare sia la prima, e in quel caso si tratta di una ODE (ovviamente molto poco lineare).

[mklplo751]

Grazie per la risposta,scusa se ti rispondo dopo tanto tempo.Allora, il funzionale $f$ è l'incognita ed è in funzione di $y(x)$ e $y'(x)$.

[gugo82]

"mklplo":Grazie per la risposta,scusa se ti rispondo dopo tanto tempo.Allora, il funzionale $f$ è l'incognita ed è in funzione di $y(x)$ e $y'(x)$.

Se l'incognita è $f$, non è possibile che nell'equazione compaia \(y^{\prime \prime}\)...
Quindi o il problema che poni non ha alcun senso, oppure è totalmente errata la sua formulazione.

Da cosa sei partito? Non è che per caso stai ancora cercando di ricostruire funzionali partendo dall'equazione di Eulero-Lagrange?

[mklplo751]

Ci sei arrivato molto vicino in realtà il problema originario era risolvere questa'altra equazione(inoltre un metodo per ricavare un funzionale partendo dalle equazioni di E-L l'ho trovato anche se non è molto utile quando il funzionale dipende da più di una funzione):
\( f_{xy}+f_{xy'x}=f \) ,dove $f$ è un funzionale e $f_x(y(x),y'(x))$ sarebbe la lagrangiana del funzionale.Anche se a dir la verità,stavo cercando di capire se esiste un'autofunzione di un operatore che partendo da $f$ mi restituisca le equazioni di E-L.

[mklplo751]

Per quanto riguarda la PDE l'unico progresso che ho fatto(se così si può chiamare)e questo:

Parto da questa equazione: \( \frac{\partial f[y]}{\partial y}=f[y] \) ,dove è ovvio che il primo membro mi indichi le equazioni di E-L del funzionale $f$,poi faccio alcuni passaggi come si fa di solito con una ODE e ottengo
\( \int \frac{1}{f}[Df]=\int[Dy] \) (che sono "integrazioni funzionali",ma dato che non li so calcolare,mi posi la domanda:"Quali sono quei funzionali le cui equazioni E-L sono 1/f e 1?") poi continuando trovo
\( \int ln(f)+a\dot{f}dx=\int ay+(a-1)\dot{y}xdx \) (dove $a in R$ è un parametro9 e quindi
\( ln(f)+a\dot{f}=ay+(a-1)\dot{y}x \)
ora arriva il difficile(e da qui ho avuto non poche difficoltà)
\( 1+a\frac {\dot{f}}{ln(f)}=\frac{ay+(a-1)\dot{y}x}{ln(f)} \)
\( \int a\frac {df}{ln(f)}=\int \frac{ay+(a-1)\dot{y}x}{ln(f)}-1 dx \) (dove in questo caso dovrebbero essere integrazioni "normali")
\( Li(f)=\frac{1}{a}\int \frac{ay+(a-1)\dot{y}x}{ln(f)}-1 dx \) (dove $Li$ è il logaritmo integrale)
\( Li(f)=yLi(f)-\frac{1}{a}\int\frac{(2a-1)}{ln(f)}\dot{y}dx-\frac{x}{a} \) (e da qui non so più come procedere,se a qualcuno non dispiace,potrebbe spiegarmi come trovare f?)

[gugo82]

Quello che scrivi, com'è ovvio, non ha alcun senso... Ma nemmeno a cercarlo attentamente.

I problemi che vedo sono i seguenti:

[*:2xowru8e] continui a confondere un funzionale con la sua lagrangiana (a livello notazionale e concettuale);

[/*:m:2xowru8e]
[*:2xowru8e] usi tecniche pensate per EDO applicandole ad altri (e ben più complicati) problemi, senza alcun appiglio teorico ed in maniera puramente analogica;

[/*:m:2xowru8e]
[*:2xowru8e] non definisci mai bene i contorni dei problemi che vuoi provare ad affrontare;[/*:m:2xowru8e][/list:u:2xowru8e]

e, come ti ha fatto già notare qualcun altro, il peggior problema è che:


[*:2xowru8e] non riesci a comprendere che è necessario superare questi scogli per "fare" Matematica.[/*:m:2xowru8e][/list:u:2xowru8e]

Cercando in giro per la rete, si capisce che, pur conoscendo qualche tecnica di base (e.g., la separazione delle variabili per le EDO), la tua formazione di base su questioni fondamentali dell'Analisi è davvero scarsa, se non del tutto nulla.
Un po' meno grave è la situazione sul versante Matematica "elementare", ma comunque avresti di che preoccuparti perché la curiosità e la buona volontà non compensano mai pienamente le lacune di base.

Detto ciò, ti auguro buone vacanze e ti consiglio vivamente di metterti a studiare argomenti più vicini alla tua preparazione e più utili ai fini della frequenza dell'università.

[ciampax]

"gugo82":Quello che scrivi, com'è ovvio, non ha alcun senso... Ma nemmeno a cercarlo attentamente.

Pensavo di essermi totalmente rincretinito io che non riuscivo a capire. Grazie per avermi confermato che qualcosa ancora la so fare...

[mklplo751]

scusate,penso di essermi perso,ma che intendi con:

"gugo82":Quello che scrivi, com'è ovvio, non ha alcun senso... Ma nemmeno a cercarlo attentamente.

?

[gugo82]

Ho aggiornato il post precedente.

[mklplo751]

Grazie,ho letto il post,e non pensavo di aver combinato tali guai.Lo so che dovrei ricominciare alle basi ma il prima di farlo avrei voluto affrontare un ultimo problema che ho esposto in questo: post:https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=54&t=177384
p.s:buone vacanze anche a te.