Esponenziale Complesso
Sto studiano la serie di Fourier, e svolgendo i vari passaggi per dimostrare come ottenere i coefficienti si arriva a dover risolvere un integrale complesso che purtroppo non riesco a risolvere.
In pratica è quello della potenza mutua in cui se k=n fa 1 e se k è diverso da n fa 0. Ma non riesco a risolverlo.
[size=150]$1/(2pi) int_(0)^(2pi) e^(2jpi(k-n)ft)dt $[/size]
Se pongo k diverso da n come fa a fare 0 questo integrale?
In pratica è quello della potenza mutua in cui se k=n fa 1 e se k è diverso da n fa 0. Ma non riesco a risolverlo.
[size=150]$1/(2pi) int_(0)^(2pi) e^(2jpi(k-n)ft)dt $[/size]
Se pongo k diverso da n come fa a fare 0 questo integrale?
Risposte
Se \(k=n\), stai integrando \(1\). Ma togli quella \(i\) dall'estremo di integrazione.
quando k=n ok,
ma a me interessava maggiormente il caso in cui k e n sono diversi.
la primitiva credo che sia questa no?
[size=150] $ 1/(2pi)1/(2pij(k-n)f) [e^(2pij(k-n)f(2pi))-e^(2pij(k-n)f(0)) ] = 1/(2pi)1/(2pij(k-n)f)[e^(2pij(k-n)f(2pi))-1] $[/size]
affinchè il risultato sia zero, questo $e^(2pij(k-n)f(2pi))=1$ ,giusto?
$ e^(2pij(k-n)f(2pi))= cos(2pi(k-n)f2pi)+jsen(2pi(k-n)f2pi) $ come fa a fare 1?
se scelgo k=1 e n=0 e f=1 ho
$ cos(4pi^2)+jsen(4pi^2)= $ un numero che non fa 1 e oltretutto il seno non si annulla
cosa sbaglio?
ma a me interessava maggiormente il caso in cui k e n sono diversi.
la primitiva credo che sia questa no?
[size=150] $ 1/(2pi)1/(2pij(k-n)f) [e^(2pij(k-n)f(2pi))-e^(2pij(k-n)f(0)) ] = 1/(2pi)1/(2pij(k-n)f)[e^(2pij(k-n)f(2pi))-1] $[/size]
affinchè il risultato sia zero, questo $e^(2pij(k-n)f(2pi))=1$ ,giusto?
$ e^(2pij(k-n)f(2pi))= cos(2pi(k-n)f2pi)+jsen(2pi(k-n)f2pi) $ come fa a fare 1?
se scelgo k=1 e n=0 e f=1 ho
$ cos(4pi^2)+jsen(4pi^2)= $ un numero che non fa 1 e oltretutto il seno non si annulla
cosa sbaglio?
Hai messo due volte il \(2\pi\) nell'esponenziale. Tieni conto che \(f\) è un numero e non una funzione. Ricordati che \(e^{2\pi j h}=1\) per qualsiasi intero \(h\), anche per \(h=k-n\)...
"dissonance":
Hai messo due volte il \(2\pi\) nell'esponenziale. Tieni conto che \(f\) è un numero e non una funzione. Ricordati che \(e^{2\pi j h}=1\) per qualsiasi intero \(h\), anche per \(h=k-n\)...
sì so che f= frequenza k-n appartiene ai naturali e come applicare la formula di eulero.
perchè dici che devo togliere un $2pi$? mica li posso togliere a piacimento? se ho un $2pi$ della formula e l'altro come estremo dell'interale perchè ne devo togliere uno? sono moltiplicati mica sommati
Hai ragione. Il problema è che se metti il \(2\pi\) nell'esponenziale allora l'integrale va preso tra \(0\) e \(1\). Ci sono varie convenzioni per i coefficienti di Fourier: una è
\[
c_n = \int_0^1 x(t) e^{-2\pi t j n}\, dt, \]
un'altra è
\[
c_n= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} x(t) e^{-jt n}\, dt.\]
\[
c_n = \int_0^1 x(t) e^{-2\pi t j n}\, dt, \]
un'altra è
\[
c_n= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} x(t) e^{-jt n}\, dt.\]
ah ecco! Grazie mille!
Leggendo sul libro $To$ come intervallo di integrazione pensavo che fosse $ 0...2pi $ e invece era lì l'errore.
Perchè se metto $2pi$ all'esponente devo integrare proprio tra \(\ 0 e 1 \)?
Hai sottointeso frequenza=1 nella formula che mi hai scritto, giusto?
Leggendo sul libro $To$ come intervallo di integrazione pensavo che fosse $ 0...2pi $ e invece era lì l'errore.
Perchè se metto $2pi$ all'esponente devo integrare proprio tra \(\ 0 e 1 \)?
Hai sottointeso frequenza=1 nella formula che mi hai scritto, giusto?
Si, non sono pratico delle convenzioni dell'ingegneria, sicuramente ho cambiato qualcosa. Comunque l'importante dovrebbe essersi chiarito.
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