Esercizio, sviluppo di Laurent
Ciao a tutti, vorrei gentilmente chiedere una mano a qualcuno per sviluppare attorno a 1 la seguente:
$f(x)=1/(z(z-1)sin(pi/z))$
Se ne richiede lo sviluppo dei primi due termini, io ho sviluppato:
$sin(pi/z)=1/(pi(z-1))(1-(z-1)+o((z-1)^2)$ e il resto, cioè $1/(z-1)$ che è tale e $1/(1-(1-z))=\sum_(k>=0)(1-z)^k$, ebbene mi ritrovo il primo termine corretto che è:
$1/(pi(z-1)^2)+pi/6$ ma quel pi/6 non torna proprio, avreste tempo e voglia di darmi una mano, più che altro mi basterebbe il passaggio conclusivo penso soggiaccia lì l'errore e ci sto impazzendo.
Grazie
$f(x)=1/(z(z-1)sin(pi/z))$
Se ne richiede lo sviluppo dei primi due termini, io ho sviluppato:
$sin(pi/z)=1/(pi(z-1))(1-(z-1)+o((z-1)^2)$ e il resto, cioè $1/(z-1)$ che è tale e $1/(1-(1-z))=\sum_(k>=0)(1-z)^k$, ebbene mi ritrovo il primo termine corretto che è:
$1/(pi(z-1)^2)+pi/6$ ma quel pi/6 non torna proprio, avreste tempo e voglia di darmi una mano, più che altro mi basterebbe il passaggio conclusivo penso soggiaccia lì l'errore e ci sto impazzendo.
Grazie
Risposte
Sia $w=z-1$. Abbiamo che $\sin\frac{\pi}{z}=\sin(\pi-\frac{\pi}{z})=\sin(\frac{\pi w}{1+w})$.
E quindi
$f(z)= \frac{1}{w}frac{1}{1+w}\frac{1}{\frac{\pi w}{1+w} -\frac{1}{3!}(\frac{\pi w}{1+w})^3}+ O(w)$,
$=\frac{1}{\pi w^2}(1+\frac{1}{3!}\frac{\pi ^2w^2}{(1+w)^2})+O(w)$,
$=\frac{1}{\pi w^2}+\frac{\pi}{6}+O(w)$.
E quindi
$f(z)= \frac{1}{w}frac{1}{1+w}\frac{1}{\frac{\pi w}{1+w} -\frac{1}{3!}(\frac{\pi w}{1+w})^3}+ O(w)$,
$=\frac{1}{\pi w^2}(1+\frac{1}{3!}\frac{\pi ^2w^2}{(1+w)^2})+O(w)$,
$=\frac{1}{\pi w^2}+\frac{\pi}{6}+O(w)$.
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