Esercizio sul teorema dei residui

[sl3vin]

Salve a tutti, qualcuno potrebbe aiutarmi con questo esercizio? Si tratta di dover applicare il teorema dei residui per risolvere il seguente integrale:

$ int_(-∞)^(∞) 1/((x^2+2)(x^2+3)) dx $

Io non so come approcciarmici, perché per il teorema dei residui ho sempre avuto a che fare con integrali la cui funzione era espressa in termini di numeri complessi con z, e il dominio di integrazione circoscritto ad una circoferenza. Mi potete aiutare gentilmente?

[johndee]

al denominatore i due fattori, entrambi, hanno poli complessi e coniugati.

$ x12= 0+-isqrt(2) $

$ x34= 0+-isqrt(3) $

applicando il teorema dei residui, dovresti vedere il tutto come un integrale indefinito in cui:

$ int (2As)/(x^2+sqrt(2))- (2B)/(x^2+sqrt(2)) + (2Cs)/(x^2+sqrt(3)) -(2Cs)/(x^2+sqrt(3))dx $

e svolgere quindi l'integrale di tutti i vari addendi singolarmente...

[sl3vin]

e scusa cosi facendo dove sta la risoluzione attraverso il teorema? Mi riferisco al calcolo tramite poi i vari limiti

[Studente Anonimo]

Dovresti integrare lungo il percorso sottostante:



$\int_{-R}^{R}1/((x^2+2)(x^2+3))dx+\int_{\gamma_(R)}1/((z^2+2)(z^2+3))dz=2\pii[Res(isqrt2)+Res(isqrt3)]$

Passando al limite e applicando il lemma del grande cerchio:

$[lim_(R->+oo)\int_{\gamma_(R)}1/((z^2+2)(z^2+3))dz=0] rarr [\int_{-oo}^{+oo}1/((x^2+2)(x^2+3))dx=2\pii[Res(isqrt2)+Res(isqrt3)]]$

Per concludere, non ti resta che calcolare i due residui:

$[Res(isqrt2)=lim_(z->isqrt2)(z-isqrt2)/((z^2+2)(z^2+3))=lim_(z->isqrt2)1/((z+isqrt2)(z^2+3))=-isqrt2/4] ^^$

$^^ [Res(isqrt3)=lim_(z->isqrt3)(z-isqrt3)/((z^2+2)(z^2+3))=lim_(z->isqrt3)1/((z^2+2)(z+isqrt3))=isqrt3/6] rarr$

$rarr [\int_{-oo}^{+oo}1/((x^2+2)(x^2+3))dx=2\pii(-isqrt2/4+isqrt3/6)=\pi/6(3sqrt(2)-2sqrt(3))]$

Ad ogni modo, ti faccio osservare che, essendo possibile procedere anche per via elementare:

$\int1/((x^2+2)(x^2+3))dx=sqrt(2)/2arctg((sqrt2)/2x)-sqrt(3)/3arctg((sqrt3)/3x)+c$

l'integrale di cui sopra può essere calcolato applicando direttamente la definizione:

$\int_{-oo}^{+oo}1/((x^2+2)(x^2+3))dx=lim_(M->+oo)\int_{-M}^{M}1/((x^2+2)(x^2+3))dx=\pi/6(3sqrt(2)-2sqrt(3))$