Esercizio sugli operatori
Ciao a tutti, sto svolgendo un esercizio sugli operatori, ma non sono assolutamente sicura della risoluzione...
potreste aiutarmi a capire se ha del senso (spero).
Ecco il testo
Sia H uno spazio di Hilbert. Si supponga che l'operatore \( A: H\longrightarrow H \) sia limitato. Per ogni N intero positivo si consideri l'operatore
\( E_N=I+\sum_{j = 1}^N 1/(j!)(i)^jA^j \) dove i è l'unità immaginaria, I l'operatore identità e \( A^j \) è la composizione j volte di A con sé stesso.
a) si dimostri che esiste il limite $ E_A=\lim_{n\rightarrow infty} E_N $ nello spazio B(H) degli operatore lineari
Per dimostrare questa cosa ho provato a fare una maggiorazione
$E_A= lim_(n -> infty) || E_N|| =lim_(n -> infty) || sum_(j = 0)^N 1/(j!) i^j A^j|| <= lim_(n -> infty) ||e^(iA))||=1 $ Ma non so quanto senso abbia (ho usato il fatto che A sia limitato e che il limite di successione sia l'esponenziale).
b) si determini l'aggiunto \( E_A\dagger \) dell'operatore \( E_A \) In particolare lo si descriva in termini dell'aggiunto \( A\dagger \) .
Qui penso basti considerare questo
\( E_A\dagger=\lim_{n\rightarrow infty} sum_(j = 0)^N 1/(j!)(-i A\dagger)^j \)
c) Si dimostri che se A è autoaggiunto, allora \( E_A \) è unitario;
Considerere ciò
\( e^(iA)e^(-iA\dagger)=e^(-iA\dagger)e^(iA)=1 \) dato che un operatore unitario gode della seguente proprietà
\( U\dagger U=UU\dagger=1 \)
c) ultimo punto: Si dimostri che \( \lim_{t\rightarrow 0} 1/t (E_(tA)-E_0)=iA \)
$ lim_(t -> 0)1/t(lim_(N -> infty)sum_(j = 0)^N (i^j (tA)^j )/(j!)-I) $ = $ lim_(t -> 0)1/t(e^(iAt)-I) $ che per il limite notevole deve essere iA
potreste aiutarmi a capire se ha del senso (spero).
Ecco il testo
Sia H uno spazio di Hilbert. Si supponga che l'operatore \( A: H\longrightarrow H \) sia limitato. Per ogni N intero positivo si consideri l'operatore
\( E_N=I+\sum_{j = 1}^N 1/(j!)(i)^jA^j \) dove i è l'unità immaginaria, I l'operatore identità e \( A^j \) è la composizione j volte di A con sé stesso.
a) si dimostri che esiste il limite $ E_A=\lim_{n\rightarrow infty} E_N $ nello spazio B(H) degli operatore lineari
Per dimostrare questa cosa ho provato a fare una maggiorazione
$E_A= lim_(n -> infty) || E_N|| =lim_(n -> infty) || sum_(j = 0)^N 1/(j!) i^j A^j|| <= lim_(n -> infty) ||e^(iA))||=1 $ Ma non so quanto senso abbia (ho usato il fatto che A sia limitato e che il limite di successione sia l'esponenziale).
b) si determini l'aggiunto \( E_A\dagger \) dell'operatore \( E_A \) In particolare lo si descriva in termini dell'aggiunto \( A\dagger \) .
Qui penso basti considerare questo
\( E_A\dagger=\lim_{n\rightarrow infty} sum_(j = 0)^N 1/(j!)(-i A\dagger)^j \)
c) Si dimostri che se A è autoaggiunto, allora \( E_A \) è unitario;
Considerere ciò
\( e^(iA)e^(-iA\dagger)=e^(-iA\dagger)e^(iA)=1 \) dato che un operatore unitario gode della seguente proprietà
\( U\dagger U=UU\dagger=1 \)
c) ultimo punto: Si dimostri che \( \lim_{t\rightarrow 0} 1/t (E_(tA)-E_0)=iA \)
$ lim_(t -> 0)1/t(lim_(N -> infty)sum_(j = 0)^N (i^j (tA)^j )/(j!)-I) $ = $ lim_(t -> 0)1/t(e^(iAt)-I) $ che per il limite notevole deve essere iA
Risposte
E' scritto un po' male ma è essenzialmente tutto corretto. Stai costruendo l'operatore \(e^{iA}\).
@disso
[ot]ma le serie di potenze possono essere trattate in maniera del tutto generica sulle k-Algebre?[/ot]
[ot]ma le serie di potenze possono essere trattate in maniera del tutto generica sulle k-Algebre?[/ot]
Scusate ho avuto problemi con i codici... tra le sintassi LaTex e ASCII credo di aver fatto un bel mix 
Vi ringrazio per l'aiuto
Vi ringrazio per l'aiuto
No, non te ne venire con le k-algebre 
Le serie di potenze sono oggetti formali, non sono altro che scrivere una successione \((a_0, a_1, a_2, \ldots)\) nella forma
\[\tag{1}
a_0 + a_1 x+ a_2 x^2 +\ldots, \]
dove \(x, x^2, x^3,\ldots \) sono dei semplici segnaposti, per cui non c'è bisogno di nessuna struttura sui termini \(a_j\). Questa è una cosa banale, ma l'ho vista usare da qualche parte, in teoria delle rappresentazioni di gruppi, ad esempio, o con le funzioni generatrici.
Se però vuoi poter valutare la (1) in un punto, facendola diventare una funzione oltre che un oggetto puramente formale, ci vuole più struttura. Per prima cosa, gli \(a_j\) devono essere in un anello e l'incognita \(x\) deve poter essere valutata in un punto di tale anello; solo così le somme, i prodotti e le potenze avranno senso. E poi bisogna poter dire cosa significa che la (1) converge, quindi ci vuole una nozione di limite, ovvero una topologia. Quindi "anello topologico" è l'ambito più generale possibile.
Spesso questo anello topologico è fatto da operatori, come in questo thread, è un punto di vista che si usa in meccanica quantistica, dove sostanzialmente si rimpiazzano tutti i numeri con degli operatori.
Le serie di potenze sono oggetti formali, non sono altro che scrivere una successione \((a_0, a_1, a_2, \ldots)\) nella forma
\[\tag{1}
a_0 + a_1 x+ a_2 x^2 +\ldots, \]
dove \(x, x^2, x^3,\ldots \) sono dei semplici segnaposti, per cui non c'è bisogno di nessuna struttura sui termini \(a_j\). Questa è una cosa banale, ma l'ho vista usare da qualche parte, in teoria delle rappresentazioni di gruppi, ad esempio, o con le funzioni generatrici.
Se però vuoi poter valutare la (1) in un punto, facendola diventare una funzione oltre che un oggetto puramente formale, ci vuole più struttura. Per prima cosa, gli \(a_j\) devono essere in un anello e l'incognita \(x\) deve poter essere valutata in un punto di tale anello; solo così le somme, i prodotti e le potenze avranno senso. E poi bisogna poter dire cosa significa che la (1) converge, quindi ci vuole una nozione di limite, ovvero una topologia. Quindi "anello topologico" è l'ambito più generale possibile.
Spesso questo anello topologico è fatto da operatori, come in questo thread, è un punto di vista che si usa in meccanica quantistica, dove sostanzialmente si rimpiazzano tutti i numeri con degli operatori.
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