Esercizio sugli operatori
Il testo dell'esercizio recita:
Sia dato l'operatore sulle funzioni L2 di variabile x e derivabili, definito da \[T=e^{ix}\frac{d}{dx}\]
1) si trovi l'espressione esplicita sulle funzioni f dell'operatore T+ nello spazio L2
2) E' possibile utilizzare la stessa espressione per T+ definendo t e T+ sulle funzioni periodiche?
3) Si trovi Ker (T) e Ker (T+)
4) Si trovino autovalori e autovettori
Per il primo punto dovrei procedere \[=< T^+g,X>\]? E poi?
Il Ker (T) è dato da \[e^{ix}\frac{d}{dx}f(x)\] quindi da tutte le derivate ortogonali a e^ix?
Grazie, ho un po' di confusione su questo tipo di esercizi. Se potete spiegarmi tutti i passaggi ve ne sarei grato.
Sia dato l'operatore sulle funzioni L2 di variabile x e derivabili, definito da \[T=e^{ix}\frac{d}{dx}\]
1) si trovi l'espressione esplicita sulle funzioni f dell'operatore T+ nello spazio L2
2) E' possibile utilizzare la stessa espressione per T+ definendo t e T+ sulle funzioni periodiche?
3) Si trovi Ker (T) e Ker (T+)
4) Si trovino autovalori e autovettori
Per il primo punto dovrei procedere \[
Il Ker (T) è dato da \[e^{ix}\frac{d}{dx}f(x)\] quindi da tutte le derivate ortogonali a e^ix?
Grazie, ho un po' di confusione su questo tipo di esercizi. Se potete spiegarmi tutti i passaggi ve ne sarei grato.
Risposte
Immagino che siano funzioni in $L^2(\mathbb{R}) nn C^1(\mathbb{R})$.
Deve verificarsi che
$$(T^{+}f,g)=(f,Tg)$$
Cioè $\int_{\mathbb{R}}(T^{+}f)^{\ast}g=\int_{\mathbb{R}}f^{\ast}Tg$, ora calcolando per parti il secondo integrale abbiamo
$$\int_{\mathbb{R}}f^{\ast}Tg=\int_{\mathbb{R}}fe^{ix}\frac{d}{dx}g=-\int_{\mathbb{R}}(ie^{ix}f+e^{ix}\frac{d}{dx}f)g=\int_{\mathbb{R}}(T^{+}f)^{\ast}g$$
Da cui
$$T^{+}=((-i)e^{ix}-e^{ix}\frac{d}{dx})^{\ast}=ie^{-ix}-e^{-ix}\frac{d}{dx}$$
Deve verificarsi che
$$(T^{+}f,g)=(f,Tg)$$
Cioè $\int_{\mathbb{R}}(T^{+}f)^{\ast}g=\int_{\mathbb{R}}f^{\ast}Tg$, ora calcolando per parti il secondo integrale abbiamo
$$\int_{\mathbb{R}}f^{\ast}Tg=\int_{\mathbb{R}}fe^{ix}\frac{d}{dx}g=-\int_{\mathbb{R}}(ie^{ix}f+e^{ix}\frac{d}{dx}f)g=\int_{\mathbb{R}}(T^{+}f)^{\ast}g$$
Da cui
$$T^{+}=((-i)e^{ix}-e^{ix}\frac{d}{dx})^{\ast}=ie^{-ix}-e^{-ix}\frac{d}{dx}$$
ok, tutto chiaro, grazie. E per il KER di T e T+?
Come è definito il Ker di un operatore?
E' l'insieme dei vettori che manda il T(v) in zero quindi nel mio caso qualsiasi costante appartiene al Ker (la derivata della sostante è 0)?
Lo stesso vale per l'aggiunto?!?
Un chiarimento, quando nel secondo passaggio metti f dentro il segno della derivata \[(-i)e^{ix}\frac{d}{dx}fg\] è come se integrassi un \[Fe^{ix}\]. Riesci a spiegarmi meglio il passaggio?
Lo stesso vale per l'aggiunto?!?
Un chiarimento, quando nel secondo passaggio metti f dentro il segno della derivata \[(-i)e^{ix}\frac{d}{dx}fg\] è come se integrassi un \[Fe^{ix}\]. Riesci a spiegarmi meglio il passaggio?
up
Meglio rivedere la prima domanda dell'esercizio:
Intanto:
$[A=e^(ix)] ^^ [B=(d)/(dx)] rarr [T=AB] rarr [T^+=B^+A^+]$
Quindi:
$[A^+=e^(-ix)] ^^ [B^+=-(d)/(dx)] rarr [T^+=-(d)/(dx)e^(-ix)] rarr [T^+=ie^(-ix)-e^(-ix)(d)/(dx)]$
Riassumendo:
$[T^+=ie^(-ix)-e^(-ix)(d)/(dx)]$
"Maxandri":
1) Si trovi l'espressione esplicita sulle funzioni $f$ dell'operatore $T^+$ nello spazio $L^2$.
Intanto:
$[A=e^(ix)] ^^ [B=(d)/(dx)] rarr [T=AB] rarr [T^+=B^+A^+]$
Quindi:
$[A^+=e^(-ix)] ^^ [B^+=-(d)/(dx)] rarr [T^+=-(d)/(dx)e^(-ix)] rarr [T^+=ie^(-ix)-e^(-ix)(d)/(dx)]$
Riassumendo:
$[T^+=ie^(-ix)-e^(-ix)(d)/(dx)]$
Scusate mi ero completamente scordato dell'esistenza di questo post...
Chiaramente ha ragione Sergeant Elias, infatti distrattamente quando ho integrato per parti ho derivato male $e^{ix}f$, ora corretto, probabilmente nasceva da lì il tuo dubbio riguardo quel passaggio.
Nel caso di $T$, $\text{Ker} T$ sono le funzioni costanti che appartengono a $L^2(RR)$, nel caso di $T^{+}$ devi imporre $ie^{-ix}f-e^{-ix}f'=0$ da cui $f=ke^{ix}$ con $k \in RR$, quali funzioni della classe appartengono a $L^2(RR)$?
Chiaramente ha ragione Sergeant Elias, infatti distrattamente quando ho integrato per parti ho derivato male $e^{ix}f$, ora corretto, probabilmente nasceva da lì il tuo dubbio riguardo quel passaggio.
Nel caso di $T$, $\text{Ker} T$ sono le funzioni costanti che appartengono a $L^2(RR)$, nel caso di $T^{+}$ devi imporre $ie^{-ix}f-e^{-ix}f'=0$ da cui $f=ke^{ix}$ con $k \in RR$, quali funzioni della classe appartengono a $L^2(RR)$?
Ok la scomposizione in AB, utile! Applicandolo all'esercizio, se faccio l'integrazione per parti otterrei
\[\int f^*e^{ix}\frac{d}{dx}g=(parti)=gf^*e^{ix}-\int g(\frac{d}{dx}f^*ie^{ix})=-\int g(-e^{ix}f^*+ie^{ix}\frac{d}{dx}f^*)\]
così sembra che la aggiunta sia \[e^{-ix}-ie^{-ix}\frac{d}{dx}\] che è leggermente diverso dal risultato di prima. Dove sbaglio? Comunque credo di aver compreso la logica. Grazie
\[\int f^*e^{ix}\frac{d}{dx}g=(parti)=gf^*e^{ix}-\int g(\frac{d}{dx}f^*ie^{ix})=-\int g(-e^{ix}f^*+ie^{ix}\frac{d}{dx}f^*)\]
così sembra che la aggiunta sia \[e^{-ix}-ie^{-ix}\frac{d}{dx}\] che è leggermente diverso dal risultato di prima. Dove sbaglio? Comunque credo di aver compreso la logica. Grazie
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